2020　福岡大学　前期文系2月5日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　放物線$y=a{x}^2+bx+c$が点$(0,2)$を通り，かつ直線$y=1$に接しているとき，$a$を$b$の式で表すと$a=\text{(1)}$である．また，接点の$x$座標$p$が$1\leqq p\leqq 4$の範囲を動くとき，$b$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$9$で割ると$7$余る自然数$m$と$9$で割ると$5$余る自然数$n$がある．このとき，$m^2+2n^2$を$9$で割ると余りは$\text{(3)}$である．また，$9$で割ると$7$余り，かつ$11$で割ると$6$余る$300$以上$400$以下の自然数は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　さいころを$3$回投げ，$1$回目に出た目を百の位の数，$2$回目に出た目を十の位の数，$3$回目に出た目を一の位の数とする$3$桁の自然数$n$を作る．このとき，$n$が$3$の倍数になる確率は$\text{(5)}$であり，$n$が$4$の倍数になる確率は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　方程式$x^4-2x^3-x^2-2x+1=0\cdots \text{①}$を考える．$\text{①}$を満たす$x$に対して，$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=t$とおくと$t$が満たす$2$次方程式は$\text{(1)}$となる．これより，方程式$\text{①}$の実数解をすべて求めると$x=\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，$y=\cos 2\theta +4\sin \theta$の最大値は$\text{(3)}$である．また，$0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$\cos 2\theta >\cos \theta$を解くと，解は$\text{(4)}$である．

【３】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{x^3}{4}}-3x$上の原点と異なる点$\mathrm{P}$における接線を$l$とし，曲線$C$と接線$l$の点$\mathrm{P}$と異なる交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$$\text{（}t\ne 0\text{）}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を$t$の式で表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡の方程式を求めよ．