2020　福岡大学　前期工学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$1$個のさいころを$2$回続けて投げるとき，出た目の積が$10$の倍数になる確率は$\text{(1)}$であり，出た目の積が$6$の倍数になる確率は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$r$を正の定数とし，$n$を$3$以上の整数とする．半径$r$の円に外接する正$n$角形の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$r\text{，}$$n$を用いて表すと$\text{(3)}$である．また，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を$r$を用いて表すと$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　座標平面上において，連立不等式$y\geqq -3x+3\text{，}$$y\geqq {\displaystyle \frac{9}{4}}x-{\displaystyle \frac{15}{2}}$の表す領域を$D$とする．点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$y+2x$の最小値は$\text{(5)}$であり，$x^2+y^2$の最小値は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　平面上に$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{b}$とおくと$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2\sqrt{2}$をみたしている．このとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値は$\text{(1)}$である．また，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$を最小にする実数$t$を$t_0$とし，点$\mathrm{R}$は$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b}$をみたす点とする．このとき，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{OR}$を$2$辺とする平行四辺形の面積は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　条件$a_1={\displaystyle \frac{1}{10}}\text{，}$$a_{n+1}=a_n+{\left({\displaystyle \frac{1}{10}}\right)}^{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$\text{(3)}$である．また，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{S_n\}$の一般項は$\text{(4)}$である．

【３】　次の問に答えよ．ただし，対数は白然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　定機分${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{2x}\mathit{dx}$の値を求めよ．

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}x{(\log x)}^2\mathit{dx}$の値を求めよ．