2020　福岡大学　前期理系2月11日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2(\sqrt{7}-2)$の整数部分は$\text{(1)}$である．また，$\sqrt{11}+\sqrt{3}$の整数部分は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{AC}=5\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{BD}$の長さは$\text{(3)}$であり，線分$\mathrm{AD}$の長さは$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　整式$P(x)=x^3+x^2+ax+b$を$x^2-4$で割ったときの余りが$2x+2$である．このとき，$a$と$b$の値は$(a,b)=\text{(5)}$である．また，方程式$P(x)=0$のすべての解は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の点$\mathrm{A}$$(-\sqrt{5},1)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(\sqrt{6},0)\text{，}$点$\mathrm{C}$$(-\sqrt{3},\sqrt{3})$に対して，$\cos \mathrm{\angle AOB}=\text{(1)}$である．また，$\mathrm{▵OAC}$の面積は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　条件$a_1=8\text{，}$$a_{n+1}-2a_n=2^{n+2}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$において，$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$$\text{（}n=1\text{．}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\text{(3)}$であり，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は$\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)=x^2\log x$について，次の問に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(1,f(1))$における接線の方程式を$y=g(x)$とするとき，$g(x)$を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた$g(x)$に対して，定積分${\displaystyle {\int }_1^2}\{f(x)-g(x)\}\mathit{dx}$の値を求めよ．

【３】　正の定数$a$に対して，曲線$C\text{：}y=x^3-3x+4$と直線$l\text{：}y=9x+a$は$2$個の共有点をもつとする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　定数$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．