2020　福岡大学　推薦理，工，医（医学科），薬学部MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$m$を正の整数とする．整式$P(x)=a{x}^{m+1}+b{x}^m+2$が$(x-1)(x-2)$で割り切れるとき，$a$と$b$を$m$を用いて表すと$(a,b)=\text{(1)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　連立不等式${\log }_3(k+2)<3\text{．}$ $3{\log }_{k}2+{\log }_{2}k>4$をみたす整数$k$の個数は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$0\leqq x\leqq \pi$における関数$y=e^{-x}\sin x$の最大値は$\text{(3)}$である．ただし，$e$は自然対数の底とする．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$3$点$\mathrm{A}$$(2\cos \theta ,2\sin \theta )\text{．}$$\mathrm{B}$$(2\cos 2\theta ,2\sin 2\theta )\text{，}$$\mathrm{C}$$(\cos \theta ,\sin \theta )$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$の面積が${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$のとき，$\mathrm{▵OAB}$の外接円の半径は$\text{(4)}$である．

【２】　$b$を正の定数とする．曲線$C_1\text{：}y=x^3-2(b+1)x^2+b(b+2)x\text{，}$放物線$C_2\text{：}y=x^2-bx$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　曲線$C_1$と放物線$C_2$のすべての共有点の座標を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積が等しいとき，$b$の値を求めよ．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　条件$a_1={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{4}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{(3)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　平面上の$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\text{．}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=5\text{．}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=4$をみたすとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$の値は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　初項$100\text{，}$公比${\displaystyle \frac{1}{2}}$の等比数列$\{a_n\}$に対して，$b_n={\displaystyle \sum _{j=1}^n}{\log }_{10}{a}_j$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$で定められる数列を$\{b_n\}$とする．このとき，$b_n$の値が最大となる$n$は$\text{(3)}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　複素数$z$の方程式$9iz({\left|z\right|}^2+1)+14(\sqrt{2}+i)=0$の解は$z=\text{(4)}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【２】　$r$を正の定数とする．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{），}$円$C_2\text{：}{x}^2+y^2=r^2$が$2$個の共有点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をもち，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{r}^2$をみたすとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$r^2$の値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C_1$と円$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．