2021　大学入学共通テスト　本試験　数学II・IIBMathJax

【１】

［１］(1)　次の問題Aについて考えよう．

$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{\text{ア}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{\text{ア}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

であるから，三角関数の合成により

$y=\text{イ}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\text{ア}}})$

と変形できる．よって，$y$は$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\text{ウ}}}$で最大値$\text{エ}$をとる．

(2)　$p$を定数とし，次の問題Bについて考えよう．

(ⅰ)　$p=0$のとき，$y$は$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\text{オ}}}$で最大値$\text{カ}$をとる．

(ⅱ)　$p>0$のときは，加法定理

$\cos (\theta -\alpha )=\cos \theta \cos \alpha +\sin \theta \sin \alpha$

を用いると

$y=\sin \theta +p\cos \theta =\sqrt{\text{キ}}\cos (\theta -\alpha )$

と表すことができる．ただし，$\alpha$は

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\sqrt{\text{キ}}}}\text{，}$$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\sqrt{\text{キ}}}}\text{，}$$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

を満たすものとする．このとき，$y$は$\theta =\text{コ}$で最大値$\sqrt{\text{サ}}$をとる．

(ⅲ)　$p<0$のとき，$y$は$\theta =\text{シ}$で最大値$\text{ス}$をとる．

　$\text{キ}\text{〜}$$\text{ケ}\text{，}$$\text{サ}\text{，}$$\text{ス}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{コ}\text{，}$$\text{シ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【１】

［２］　二つの関数$f(x)={\displaystyle \frac{2^x+2^{-x}}{2}}\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{2^x-2^{-x}}{2}}$について考える．

(1)　$f(0)=\text{セ}\text{，}$$g(0)=\text{ソ}$である．また，$f(x)$は相加平均と相乗平均の関係から，$x=\text{タ}$で最小値$\text{チ}$をとる．$g(x)=-2$となる$x$の値は${\log }_2(\sqrt{\text{ツ}}-\text{テ})$である．

(2)　次の$\text{①}\text{〜}$$\text{④}$は，$x$にどのような値を代入してもつねに成り立つ．

　$\text{ト}\text{，}$$\text{ナ}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい．)

(3)　花子さんと太郎さんは，$f(x)$と$g(x)$の性質について話している．

　(1)，(2)で示されたことのいくつかを利用すると，式(A)〜(D)のうち，$\text{ネ}$以外の三つは成り立たないことがわかる．$\text{ネ}$は左辺と右辺をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる．

　$\text{ネ}$の解答群

【２】(1)　座標平面上で，次の二つの$2$次関数のグラフについて考える．

$\text{①}\text{，}$$\text{②}$の$2$次関数のグラフには次の共通点がある．

　次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$の$2$次関数のグラフのうち，$y$軸との交点における接線の方程式が$y=\text{イ}x+\text{ウ}$となるものは$\text{エ}$である．

　$\text{エ}$の解答群

　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$0$でない実数とする．

　曲線$y=a{x}^2+bx+c$上の点$(0,\text{オ})$における接線を$l$とすると，その方程式は$y=\text{カ}x+\text{キ}$である．

　接線$l$と$x$軸との交点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\text{クケ}}{\text{コ}}}$である．

　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が正の実数であるとき，曲線$y=a{x}^2+bx+c$と接線$l$および直線$x={\displaystyle \frac{\text{クケ}}{\text{コ}}}$で囲まれた図形の面積を$S$とすると

$S={\displaystyle \frac{a{c}^{\text{サ}}}{\text{シ}{b}^{\text{ス}}}}$$\cdots \text{③}$

である．

　$\text{③}$において，$a=1$とし，$S$の値が一定となるように正の実数$b\text{，}$$c$の値を変化させる．このとき，$b$と$c$の関係を表すグラフの概形は$\text{セ}$である．

　$\text{セ}$については，最も適当なものを次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

(2)　座標平面上で，次の三つの$3$次関数のグラフについて考える．

　$\text{④}\text{，}$$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑥}$の$3$次関数のグラフには次の共通点がある．

　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を$0$でない実数とする．

　曲線$y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$上の点$(0,\text{ツ})$における接線の方程式は$y=\text{テ}x+\text{ト}$である．

　次に，$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{，}$$g(x)=\text{テ}x+\text{ト}$とし，$f(x)-g(x)$について考える．

　$h(x)=f(x)-g(x)$とおく．$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$が正の実数であるとき，$y=h(x)$のグラフの概形は$\text{ナ}$である．

　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\text{ニヌ}}{\text{ネ}}}$と$\text{ノ}$である．また，$x$が${\displaystyle \frac{\text{ニヌ}}{\text{ネ}}}$と$\text{ノ}$の間を動くとき，$|f(x)-g(x)|$の値が最大となるのは，$x={\displaystyle \frac{\text{ハヒフ}}{\text{ヘホ}}}$のときである．

　$\text{ナ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

【３】　$a$は$a>1$を満たす定数とする．また，座標平面上に点$\mathrm{M}$$(2,-1)$がある．$\mathrm{M}$と異なる点$\mathrm{P}$$(s,t)$に対して，点$\mathrm{Q}$を，$3$点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がこの順に同一直線上に並び，線分$\mathrm{MQ}$の長さが線分$\mathrm{MP}$の長さの$a$倍となるようにとる．

(1)　点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{MQ}$を$1:(\text{ア}-\text{イ})$に内分する．よって，点$\mathrm{Q}$の座標を$(x,y)$とすると

$s={\displaystyle \frac{x+\text{ウエ}-\text{オ}}{\text{カ}}}\text{，}$$t={\displaystyle \frac{y-\text{キ}+\text{ク}}{\text{ケ}}}$

である．

(2)　座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を考える．

　点$\mathrm{P}$が$C$上にあるとき

$s^2+t^2=1$

が成り立つ．

　点$\mathrm{Q}$の座標を$(x,y)$とすると，$x\text{，}$$y$は

${(x+\text{コサ}-\text{シ})}^2$$+{(y-\text{ス}+\text{セ})}^2={\text{ソ}}^2$$\cdots \text{①}$

を満たすので，点$\mathrm{Q}$は$(-\text{コサ}+\text{シ},\text{ス}-\text{セ})$を中心とする半径$\text{ソ}$の円上にある．

(3)　$k$を正の定数とし，直線$l\text{：}x+y-k=0$と円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$は接しているとする．このとき，$k=\sqrt{\text{タ}}$である．

　点$\mathrm{P}$が$l$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$$(x,y)$の軌跡の方程式は

$x+y+(\text{チ}-\sqrt{\text{ツ}})a-\text{テ}=0$$\cdots \text{②}$

であり，点$\mathrm{Q}$の軌跡は$l$と平行な直線である．

(4)　(2)の$\text{①}$が表す円を$C_a\text{，}$(3)の$\text{②}$が表す直線を$l_a$とする．$C_a$の中心と$l_a$の距離は$\text{ト}$であり，$C_a$と$l_a$は$\text{ナ}\text{．}$

　$\text{ト}$の解答群

　$\text{ナ}$の解答群

【４】　$k$を実数とし，$x$の整式$P(x)$を

$P(x)=x^4+(k-1)x^2+(6-2k)x+3k$

とする．

(1)　$k=0$とする．このとき

$P(x)=x(x^2-x+\text{ア})$

である．また，$P(-2)=\text{イ}$である．これらのことにより，$P(x)$は

$P(x)=x(x+\text{ウ})(x^2-2x+3)$

と因数分解できる．

　また，方程式$P(x)=0$の虚数解は$\text{エ}\pm \sqrt{\text{オ}}i$である．

(2)　$k=3$とすると，$P(x)$を$x^2-2x+3$で割ることにより

$P(x)=(x^2+\text{カ}x+\text{キ})(x^2-2x+3)$

が成り立つことがわかる．

(3)　(1)，(2)の結果を踏まえると，次の予想が立てられる．

この予想が正しいとすると，ある実数$m\text{，}$$n$に対して

$P(x)=(x^2+mx+n)(x^2-2x+3)$

が成り立つ．この式の$x^3$の係数に着目することにより，$m=\text{ク}$が得られる．また，定数項に着目することにより，$n=k$が得られる．

　このとき，実際に

が成り立つことが計算により確かめられ，この予想が正しいことがわかる．

(4)　方程式$P(x)=0$が実数解をもたないような$k$の値の範囲は

$k>\text{ケ}$

である．

【３】　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

　$\mathrm{Q}$高校の校長先生は，ある日，新聞で高校生の読書に関する記事を読んだ．そこで，$\mathrm{Q}$高校の生徒全員を対象に，直前の$1$週間の読書時間に関して，$100$人の生徒を無作為に抽出して調査を行った．その結果，$100$人の生徒のうち，この$1$週間に全く読書をしなかった生徒が$36$人であり，$100$人の生徒のこの$1$週間の読書時間(分)の平均値は$204$であった．$\mathrm{Q}$高校の生徒全員のこの$1$週間の読書時間の母平均を$m\text{，}$母標準偏差を$150$とする．

(1)　全く読書をしなかった生徒の母比率を$0.5$とする．このとき，$100$人の無作為標本のうちで全く読書をしなかった生徒の数を表す確率変数を$X$とすると，$X$は$\text{ア}$に従う．また，$X$の平均（期待値）は$\text{イウ}\text{，}$標準偏差は$\text{エ}$である．

　$\text{ア}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

(2)　標本の大きさ$100$は十分に大きいので，$100$人のうち全く読書をしなかった生徒の数は近似的に正規分布に従う．

　全く読書をしなかった生徒の母比率を$0.5$とするとき，全く読書をしなかった生徒が$36$人以下となる確率を$p_5$とおく．$p_5$の近似値を求めると，$p_5=\text{オ}$である．

　また，全く読書をしなかった生徒の母比率を$0.4$とするとき，全く読書をしなかった生徒が$36$人以下となる確率を$p_4$とおくと，$\text{カ}$である．

　$\text{オ}$については，最も適当なものを次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

　$\text{カ}$の解答群

(3)　$1$週間の読書時間の母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を$C_1\leqq m\leqq C_2$とする．標本の大きさ$100$は十分大きいことと，$1$週間の読書時間の標本平均が$204\text{，}$母標準偏差が$150$であることを用いると，$C_1+C_2=\text{キクケ}\text{，}$$C_2-C_1=\text{コサ}.\text{シ}$であることがわかる．

　また，母平均$m$と$C_1\text{，}$$C_2$については，$\text{ス}\text{．}$

　$\text{ス}$の解答群

(4)　$\mathrm{Q}$高校の図書委員長も，校長先生と同じ新聞記事を読んだため，校長先生が調査をしていることを知らずに，図書委員会として校長先生と同様の調査を独自に行った．ただし，調査期間は校長先生による調査と同じ直前の$1$週間であり，対象を$\mathrm{Q}$高校の生徒全員として$100$人の生徒を無作為に抽出した．その調査における，全く読書をしなかった生徒の数を$n$とする．

　校長先生の調査結果によると全く読書をしなかった生徒は$36$人であり，$\text{セ}\text{．}$

　$\text{セ}$の解答群

(5)　(4)の図書委員会が行った調査結果による母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を$D_1\leqq m\leqq D_2\text{，}$校長先生が行った調査結果による母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を(3)の$C_1\leqq m\leqq C_2$とする．ただし，母集団は同一であり，$1$週間の読書時間の母標準偏差は$150$とする．

　このとき，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうち，正しいものは$\text{ソ}$と$\text{タ}$である．

　$\text{ソ}\text{，}$$\text{タ}$の解答群（解答の順序は問わない．）

【４】　初項$3\text{，}$公差$p$の等差数列を$\{a_n\}$とし，初項$3\text{，}$公比$r$の等比数列を$\{b_n\}$とする．ただし，$p\ne 0$かつ$r\ne 0$とする．さらに，これらの数列が次を満たすとする．

$a_n{b}_{n+1}-2a_{n+1}{b}_n+3b_{n+1}=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$\cdots \text{①}$

(1)　$p$と$r$の値を求めよう．自然数$n$について，$a_n\text{，}$$a_{n+1}\text{，}$$b_n$はそれぞれ

と表される．$r\ne 0$により，すべての自然数$n$について，$b_n\ne 0$となる．${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}}=r$であることから，$\text{①}$の両辺を$b_n$で割ることにより

$\text{ウ}{a}_{n+1}=r(a_n+\text{エ})$$\cdots \text{④}$

が成り立つことがわかる．$\text{④}$に$\text{②}$と$\text{③}$を代入すると

$(r-\text{オ})pn=r(p-\text{カ})+\text{キ}$$\cdots \text{⑤}$

となる．$\text{⑤}$がすべての$n$で成り立つことおよび$p\ne 0$により，$r=\text{オ}$を得る．さらに，このことから，$p=\text{ク}$を得る．

　以上から，すべての自然数$n$について，$a_n$と$b_n$が正であることもわかる．

(2)　$p=\text{ク}\text{，}$$r=\text{オ}$であることから，$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和は，それぞれ次の式で与えられる．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}n(n+\text{サ})$

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k=\text{シ}({\text{オ}}^n-\text{ス})$

(3)　数列$\{a_n\}$に対して，初項$3$の数列$\{c_n\}$が次を満たすとする．

$a_n{c}_{n+1}-4a_{n+1}{c}_n+3c_{n+1}=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$\cdots \text{⑥}$

　$a_n$が正であることから，$\text{⑥}$を変形して，$c_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{セ}{a}_{n+1}}{a_n+\text{ソ}}}{c}_n$を得る．さらに，$p=\text{ク}$であることから，数列$\{c_n)$は$\text{タ}$ことがわかる．

　$\text{タ}$の解答群

(4)　$q\text{，}$$u$は定数で，$q\ne 0$とする．数列$\{b_n\}$に対して，初項$3$の数列$\{d_n\}$が次を満たすとする．

$d_n{b}_{n+1}-q{d}_{n+1}{b}_n+u{b}_{n+1}=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$\cdots \text{⑦}$

　$r=\text{オ}$であることから，$\text{⑦}$を変形して，$d_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{チ}}{q}}(d_n+u)$を得る．したがって，数列$\{d_n\}$が，公比が$0$より大きく$1$より小さい等比数列となるための必要十分条件は，$q>\text{ツ}$かつ$u=\text{テ}$である．

【５】　$1$辺の長さが$1$の正五角形の対角線の長さを$a$とする．

(1)　$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_2$考える．

　$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{B}}_1=\text{アイ}\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle }{\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2=\text{アイ}\mathrm{°}$となることから，$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}$と$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}$は平行である．ゆえに

$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}=\text{ウ}\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}$

であるから

$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}={\displaystyle \frac{1}{\text{ウ}}}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}$$={\displaystyle \frac{1}{\text{ウ}}}(\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}-\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1})$

　また，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$と$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_1}$は平行で，さらに，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}$と$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1}$も平行であることから

となる．したがって

${\displaystyle \frac{1}{\text{ウ}}}=\text{エ}-\text{オ}$

が成り立つ．$a>0$に注意してこれを解くと，$a={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$を得る．

(2)　右の図のような，$1$辺の長さが$1$の正十二面体を考える．正十二面体とは，どの面もすべて合同な正五角形であり，どの頂点にも三つの面が集まっているへこみのない多面体のことである．

　面$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_2$に着目する．$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$と$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_1}$が平行であることから

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}+\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_1}$$=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}+\text{ウ}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$

である．また

${|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}-\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}|}^2$$={\left|\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}\right|}^2$$={\displaystyle \frac{\text{カ}+\sqrt{\text{キ}}}{\text{ク}}}$

に注意すると

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}={\displaystyle \frac{\text{ケ}-\sqrt{\text{コ}}}{\text{サ}}}$

を得る．ただし，$\text{カ}\text{〜}$$\text{サ}$は，文字$a$を用いない形で答えること．

　次に，面$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{A}}_3$に着目すると

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_2}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3}+\text{ウ}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}$

である．さらに

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3}$$=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$$={\displaystyle \frac{\text{ケ}-\sqrt{\text{コ}}}{\text{サ}}}$

が成り立つことがわかる．ゆえに

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_2}=\text{シ}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_2}=\text{ス}$

である．

　$\text{シ}\text{，}$$\text{ス}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　最後に，面${\mathrm{A}}_2{\mathrm{C}}_1\mathrm{DE}{\mathrm{B}}_2$に着目する．

$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_2\mathrm{D}}$$=\text{ウ}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{C}}_1}$$=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_{\mathrm{I}}}$

であることに注意すると，$4$点$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$${\mathrm{B}}_2$は同一平面上にあり，四角形$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1\mathrm{D}{\mathrm{B}}_2$は$\text{セ}$ことがわかる．

　$\text{セ}$の解答群

　ただし，少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という．