2021 大学入学共通テスト 追試験 数学I/数学IAMathJax

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2021 大学入学共通テスト 追試

数学I,数学IA共通

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  a b を定数とするとき, x についての不等式

|ax- b-7|< 3

を考える.

(1)  a=-3 b=-2 とする. を満たす整数全体の集合を P とする.この集合 P を,要素を書き並べて表すと

P={ アイ , ウエ }

となる.ただし, アイ ウエ の解答の順序は問わない.

(2)  a=1 2 とする.

(ⅰ)  b=1 のとき, を満たす整数は全部で 個である.

(ⅱ)  を満たす整数が全部で ( +1 ) 個であるような正の整数 b のうち,最小のものは である.

2021 大学入学共通テスト 追試

数学I

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 実数 x に関する三つの条件 p q r

p-1 x5 q3<x< 6 rx5

とする.

(1) 条件 p q の否定を,それぞれ p q で表すとき,次が成り立つ.

p かつ q 」は, r であるための

p かつ q 」は, r であるための

p または q 」は, r であるための

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0  必要条件であるが,十分条件ではない

1  十分条件であるが,必要条件ではない

2  必要十分条件である

3  必要条件でも十分条件でもない

(2) 定数 a を正の実数とし

(ax- 2)( x-a-1) 0

を満たす実数 x 全体の集合を A とする.

 集合 A は, a の値を三つの場合に分けて考えると

0<a < のとき, A={x | x }

a= のとき, A={ }

<a のとき, A={x | x }

である.

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   a-1 1   a+1 2   1a 3   2a 4   2a

 集合 B

B={x|xは「 pかつ q 」を満たす実数}

とするとき, AB が空集合となる a の値の範囲は

a

である.

2021 大学入学共通テスト 追試

数学I

配点30点

数学IA【1】[2]の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】 平面上に 2 A B があり, AB=8 である.直線 AB 上にない点 P をとり, ▵ABP をつくり,その外接円の半径を R とする.

2021年共通テスト追試験数学I【2】2021100000303の図

図1(一部略)

 太郎さんは,図1のように,コンピュータソフトを使って点 P をいろいろな位置にとった.

 図1は,点 P をいろいろな位置にとったときの ▵ABP の外接円をかいたものである.

(1) 太郎さんは,点 P のとり方によって外接円の半径が異なることに気づき,次の問題1を考えることにした.

問題1 点 P をいろいろな位置にとるとき,外接円の半径 R が最小となる ▵ABP はどのような三角形か.

 正弦定理により, 2R= sin ∠APB である.よって, R が最小となるのは ∠APB = イウ ° の三角形である.このとき, R= である.

(2) 太郎さんは,図2のように,問題1の点 P のとり方に条件を付けて,次の問題2を考えた.

問題2 直線 AB に平行な直線を l とし,直線 l 上で点 P をいろいろな位置にとる.このとき,外接円の半径 R が最小となる ▵ABP はどのような三角形か.

2021年共通テスト追試験数学I【2】2021100000303の図

図2(一部略)

 太郎さんは,この問題を解決するために,次の構想を立てた.

問題2の解決の構想

 問題1の考察から,線分 AB を直径とする円を C とし,円 C に着目する.直線 l は,その位置によって,円 C と共有点をもつ場合ともたない場合があるので,それぞれの場合に分けて考える.

 直線 AB と直線 l との距離を h とする.直線 l が円 C と共有点をもつ場合は, h のときであり,共有点をもたない場合は, h> のときである.

(ⅰ)  h のとき

 直線 l が円 C と共有点をもつので, R が最小となる ▵ABP は, h< のとき であり, h= のとき直角二等辺三角形である.

(ⅱ)  h> のとき

 線分 AB の垂直二等分線を m とし,直線 m と直線 l との交点を P 1 とする.直線 l 上にあり点 P 1 とは異なる点を P2 とするとき sin A P1B sin A P2B の大小を考える.

  ▵ABP 2 の外接円と直線 m との共有点のうち,直線 AB に関して点 P2 と同じ側にある点を P3 とすると, ∠AP3 B ∠A P2B である.また, ∠AP3 B<∠A P1B <90 ° より sin ∠AP3 B sin∠AP 1B である.このとき

(▵ABP 1の外接円の半径 ) (▵AB P2 の外接円の半径)

であり, R が最小となる ▵ABP である.

  については,最も適当なものを,次の 0 4 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

0  鈍角三角形 1  直角三角形 2  正三角形
3  二等辺三角形 4  直角二等辺三角形 

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   < 1   = 2   >

(3) 問題2の考察を振り返って, h が次の値のとき, ▵ABP の外接円の半径 R が最小である場合について考える.ただし,線分 AB の中点 C に対して, ∠ACP90 ° とする.

(ⅰ)  h=7 のとき

tan∠ACP= AP=

cos∠APC= cos∠PCB= チツ

である.

(ⅱ)  h=8 のとき, sin∠APB= であり, R= である.

2021 大学入学共通テスト 追試

数学I

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】

[1]  y x 2 次関数で, x2 の係数は 1 とする.その 2 次関数のグラフを G とする.

(1)  G 2 (2 ,0) (0,3 ) を通るとき, G の方程式は

y=x2 x+

である.

(2)  a を実数とする.

  G 2 (2 ,0) (0,a ) を通るとき, G の頂点を (p ,q) とすると

p=a + q= (a - ) 2 キク

である.

 また,

1p2 かつ - 94q -14

であるとき, a のとり得る値の範囲は

a

である.

2021 大学入学共通テスト 追試

数学I,数学IA共通

配点15点

数学IAは【2】[1]で,選択肢はアからチ

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】

[2] 花子さんと太郎さんのクラスでは,文化祭でたこ焼き店を出店することになった.二人は 1 皿あたりの価格をいくらにするかを検討している.次の表は,過去の文化祭でのたこ焼き店の売り上げデータから, 1 皿あたりの価格と売り上げ数の関係をまとめたものである.

1 皿あたりの価格(円) 200 250 300
売り上げ数(皿) 200 150 100

(1) まず,二人は,上の表から, 1 皿あたりの価格が 50 円上がると売り上げ数が 50 皿減ると考えて,売り上げ数が 1 皿あたりの価格の 1 次関数で表されると仮定した.このとき, 1 皿あたりの価格を x 円とおくと,売り上げ数は

サシス -x

と表される.

(2) 次に,二人は,利益の求め方について考えた.

花子:利益は,売り上げ金額から必要な経費を引けば求められるよ.

太郎:売り上げ金額は, 1 皿あたりの価格と売り上げ数の積で求まるね.

花子:必要な経費は,たこ焼き用器具の賃貸料と材料費の合計だね.材料費は,売り上げ数と 1 皿あたりの材料費の積になるね.

 二人は,次の三つの条件のもとで, 1 皿あたりの価格 x を用いて利益を表すことにした.

(条件1)  1 皿あたりの価格が x 円のときの売り上げ数として を用いる.

(条件2) 材料は, により得られる売り上げ数に必要な分量だけ仕入れる.

(条件3)  1 皿あたりの材料費は 160 円である.たこ焼き用器具の賃貸料は 6000 円である.材料費とたこ焼き用器具の賃貸料以外の経費はない.

 利益を y 円とおく. y x の式で表すと

y=- x2 + セソタ x- × 10000

である.

(3) 太郎さんは利益を最大にしたいと考えた. を用いて考えると,利益が最大になるのは 1 皿あたりの価格が ツテト 円のときであり,そのときの利益は ナニヌネ 円である.

(4) 花子さんは,利益を 7500 円以上となるようにしつつ,できるだけ安い価格で提供したいと考えた. を用いて考えると,利益が 7500 円以上となる 1 皿あたりの価格のうち,最も安い価格は ノハヒ 円となる.

2021 大学入学共通テスト 追試

数学I

配点20点

数学IA【2】〔2〕の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 総務省が実施している国勢調査では都道府県ごとの総人口が調べられており,その内訳として日本人人口と外国人人口が公表されている.また,外務省では旅券(パスポート)を取得した人数を都道府県ごとに公表している.加えて,文部科学省では都道府県ごとの小学校に在籍する児童数を公表している.

 そこで, 47 都道府県の,人口 1 万人あたりの外国人人口(以下,外国人数),人口 1 万人あたりの小学校児童数(以下,小学生数),また,日本人 1 万人あたりの旅券を取得した人数(以下,旅券取得者数)を,それぞれ計算した.

2021年共通テスト追試験数学i【4】2021100000306の図

図1  2010 年における

外国人数のヒストグラム

(出典:総務省のWeb

ページにより作成)

(1) 図1は, 2010 年における 47 都道府県の,外国人数のヒストグラムである.なお,ヒストグラムの各階級の区間は,左側の数値を含み,右側の数値を含まない.

 下の二つは図1のヒストグラムに関する記述である.ただし, 2010 年における 47 都道府県の外国人数の平均値は 96.4 であった.

・中央値と は同じ階級に含まれる.

・第 1 四分位数, および は同じ階級に含まれる.

  の解答群( については,解答の順序は問わない.)

0  最小値 1  最大値 2  第 3 四分位数
3  最頻値 4  平均値 

(2) 図2は, 2010 年における 47 都道府県の,旅券取得者数(横軸)と小学生数(縦軸)の関係を黒丸で,また,旅券取得者数(横軸)と外国人数(縦軸)の関係を白丸で表した散布図である.

2021年共通テスト追試験数学i【4】2021100000306の図

図2  2010 年における,旅券取得者数と小学生数の散布図(黒丸),旅券取得者数と外国人数の散布図(白丸)

(出典:外務省,文部科学省および総務省のWebページにより作成)

 次の(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)は図2の散布図に関する記述である.

(Ⅰ) 小学生数の四分位範囲は,外国人数の四分位範囲より大きい.

(Ⅱ) 旅券取得者数の範囲は,外国人数の範囲より大きい.

(Ⅲ) 旅券取得者数と小学生数の相関係数は,旅券取得者数と外国人数の相関係数より大きい.

 (Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)の正誤の組合せとして正しいものは である.

  の解答群

  0 1 2 3 4 5 6 7
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)

(3) 一般に,度数分布表

階級値 x1 x2 x3 x4 xk
度数 f1 f2 f3 f4 fk n

が与えられていて,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定すると,平均値 x

x= 1n (x1 f1+ x2f2 +x3 f3+x4 f4+ +xkf k)

で求めることができる.さらに階級の幅が一定で,その値が h のときは

x2=x1 +h x3=x 1+2h x4=x 1+3h xk=x1 +(k-1 )h

に注意すると

x =

と変形できる.

  については,最も適当なものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.

0   x1 n( f1+f2 +f3+ f4++ fk)

1   hn (f1 +2f2 +3f3 +4f4 ++k fk)

2   x1+ hn {f2+ f3+f 4++f k}

3   x1+ hn { f2+2 f3+3 f4++ (k-1) fk }

4   12 (f1 +fk) x1 12 (f1 +kfk )

2021年共通テスト追試験数学i【4】2021100000306の図

図3  2008 年における旅券

取得者数のヒストグラム

(出典:外務省のWeb

ページにより作成)

 図3は, 2008 年における 47 都道府県の旅券取得者数のヒストグラムである.なお,ヒストグラムの各階級の区間は,左側の数値を含み,右側の数値を含まない.

 図3のヒストグラムに関して,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定する.このとき,平均値 x は小数第 1 位を四捨五入すると カキク である.

(4) 一般に,度数分布表

階級値 x1 x2 xk
度数 f1 f2 fk n

が与えられていて,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定すると,分散 s2

s2= 1n {(x 1-x )2 f1 +(x 2-x )2 f2 ++ (xk- x) 2fk }

で求めることができる.さらに s2

s2= 1n{ (x12 f1+ x22f 2++x k2fk ) -2x × +( x) 2× }

と変形できるので

s2= 1n (x1 2 f1 +x 22 f2 ++ xk 2f k )-

である.

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   n 1   n2 2   x 3   nx 4   2nx
5   n2x 6   (x )2 7   n( x) 2 8   2n (x )2 9   3n (x )2
2021年共通テスト追試験数学i【4】2021100000306の図

図4  2008 年における旅券

取得者数のヒストグラム

(出典:外務省のWeb

ページにより作成)

 図4は,図3を再掲したヒストグラムである.

 図4のヒストグラムに関して,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定すると,平均値 x は(3)で求めた カキク である. カキク の値と式 を用いると,分散 s2 である.

  については,最も近いものを,次の 0 7 のうちから一つ選べ.

0   3900 1   4900 2   5900 3   6900
4   7900 5   8900 6   9900 7   10900

2021 大学入学共通テスト 追試

数学IA

配点20点

数学I【2】の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 平面上に 2 A B があり, AB=8 である.直線 AB 上にない点 P をとり, ▵ABP をつくり,その外接円の半径を R とする.

2021年共通テスト追試験数学I【2】2021100000303の図

図1(一部略)

 太郎さんは,図1のように,コンピュータソフトを使って点 P をいろいろな位置にとった.

 図1は,点 P をいろいろな位置にとったときの ▵ABP の外接円をかいたものである.

(1) 太郎さんは,点 P のとり方によって外接円の半径が異なることに気づき,次の問題1を考えることにした.

問題1 点 P をいろいろな位置にとるとき,外接円の半径 R が最小となる ▵ABP はどのような三角形か.

 正弦定理により, 2R= sin ∠APB である.よって, R が最小となるのは ∠APB = クケ ° の三角形である.このとき, R= である.

(2) 太郎さんは,図2のように,問題1の点 P のとり方に条件を付けて,次の問題2を考えた.

問題2 直線 AB に平行な直線を l とし,直線 l 上で点 P をいろいろな位置にとる.このとき,外接円の半径 R が最小となる ▵ABP はどのような三角形か.

2021年共通テスト追試験数学I【2】2021100000303の図

図2(一部略)

 太郎さんは,この問題を解決するために,次の構想を立てた.

問題2の解決の構想

 問題1の考察から,線分 AB を直径とする円を C とし,円 C に着目する.直線 l は,その位置によって,円 C と共有点をもつ場合ともたない場合があるので,それぞれの場合に分けて考える.

 直線 AB と直線 l との距離を h とする.直線 l が円 C と共有点をもつ場合は, h のときであり,共有点をもたない場合は, h> のときである.

(ⅰ)  h のとき

 直線 l が円 C と共有点をもつので, R が最小となる ▵ABP は, h< のとき であり, h= のとき直角二等辺三角形である.

(ⅱ)  h> のとき

 線分 AB の垂直二等分線を m とし,直線 m と直線 l との交点を P 1 とする.直線 l 上にあり点 P1 とは異なる点を P2 とするとき sin A P1B sin A P2B の大小を考える.

  ▵ABP 2 の外接円と直線 m との共有点のうち,直線 AB に関して点 P2 と同じ側にある点を P3 とすると, ∠AP3 B ∠A P2B である.また, ∠AP3 B<∠A P1B <90 ° より sin ∠AP3 B sin∠AP 1B である.このとき

(▵ABP 1の外接円の半径 ) (▵AB P2 の外接円の半径)

であり, R が最小となる ▵ABP である.

  については,最も適当なものを,次の 0 4 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

0  鈍角三角形 1  直角三角形 2  正三角形
3  二等辺三角形 4  直角二等辺三角形 

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   < 1   = 2   >

(3) 問題2の考察を振り返って, h=8 のとき, ▵ABP の外接円の半径 R が最小である場合について考える.このとき, sin∠APB= であり, R= である.

2021 大学入学共通テスト 追試

数学IA

配点15点

数学I【4】の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

[2] 総務省が実施している国勢調査では都道府県ごとの総人口が調べられており,その内訳として日本人人口と外国人人口が公表されている.また,外務省では旅券(パスポート)を取得した人数を都道府県ごとに公表している.加えて,文部科学省では都道府県ごとの小学校に在籍する児童数を公表している.

 そこで, 47 都道府県の,人口 1 万人あたりの外国人人口(以下,外国人数),人口 1 万人あたりの小学校児童数(以下,小学生数),また,日本人 1 万人あたりの旅券を取得した人数(以下,旅券取得者数)を,それぞれ計算した.

(1) 図1は, 2010 年における 47 都道府県の,旅券取得者数(横軸)と小学生数(縦軸)の関係を黒丸で,また,旅券取得者数(横軸)と外国人数(縦軸)の関係を白丸で表した散布図である.

2021年共通テスト追試験数学i【4】2021100000306の図

図1  2010 年における,旅券取得者数と小学生数の散布図(黒丸),旅券取得者数と外国人数の散布図(白丸)

(出典:外務省,文部科学省および総務省のWebページにより作成)

 次の(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)は図1の散布図に関する記述である.

(Ⅰ) 小学生数の四分位範囲は,外国人数の四分位範囲より大きい.

(Ⅱ) 旅券取得者数の範囲は,外国人数の範囲より大きい.

(Ⅲ) 旅券取得者数と小学生数の相関係数は,旅券取得者数と外国人数の相関係数より大きい.

 (Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)の正誤の組合せとして正しいものは である.

  の解答群

  0 1 2 3 4 5 6 7
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)

(2) 一般に,度数分布表

階級値 x1 x2 x3 x4 xk
度数 f1 f2 f3 f4 fk n

が与えられていて,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定すると,平均値 x

x= 1n (x1 f1+ x2f2 +x3 f3+x4 f4+ +xkf k)

で求めることができる.さらに階級の幅が一定で,その値が h のときは

x2=x1 +h x3=x 1+2h x4=x 1+3h xk=x1 +(k-1 )h

に注意すると

x =

と変形できる.

  については,最も適当なものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.

0   x1 n( f1+f2 +f3+ f4++ fk)

1   hn (f1 +2f2 +3f3 +4f4 ++k fk)

2   x1+ hn {f2+ f3+f 4++f k}

3   x1+ hn { f2+2 f3+3 f4++ (k-1) fk }

4   12 (f1 +fk) x1 12 (f1 +kfk )

2021年共通テスト追試験数学i【4】2021100000306の図

図2  2008 年における旅券

取得者数のヒストグラム

(出典:外務省のWeb

ページにより作成)

 図2は, 2008 年における 47 都道府県の旅券取得者数のヒストグラムである.なお,ヒストグラムの各階級の区間は,左側の数値を含み,右側の数値を含まない.

 図2のヒストグラムに関して,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定する.このとき,平均値 x は小数第 1 位を四捨五入すると トナニ である.

(3) 一般に,度数分布表

階級値 x1 x2 xk
度数 f1 f2 fk n

が与えられていて,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定すると,分散 s2

s2= 1n {(x 1-x )2 f1 +(x 2-x )2 f2 ++ (xk- x) 2fk }

で求めることができる.さらに s2

s2= 1n{ (x12 f1+ x22f 2++x k2fk ) -2x × +( x) 2× }

と変形できるので

s2= 1n (x1 2 f1 +x 22 f2 ++ xk 2f k ) -

である.

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   n 1   n2 2   x 3   nx 4   2nx
5   n2x 6   (x )2 7   n( x) 2 8   2n (x )2 9   3n (x )2
2021年共通テスト追試験数学i【4】2021100000306の図

図3  2008 年における旅券

取得者数のヒストグラム

(出典:外務省のWeb

ページにより作成)

 図3は,図2を再掲したヒストグラムである.

 図3のヒストグラムに関して,各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定すると,平均値 x は(2)で求めた トナニ である. トナニ の値と式 を用いると,分散 s2 である.

  については,最も近いものを,次の 0 7 のうちから一つ選べ.

0   3900 1   4900 2   5900 3   6900
4   7900 5   8900 6   9900 7   10900

2021 大学入学共通テスト 追試

数学IA

【3】〜【5】から2題選択

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 二つの袋 A B と一つの箱がある. A の袋には赤球 2 個と白球 1 個が入っており, B の袋には赤球 3 個と白球 1 個が入っている.また,箱には何も入っていない.

(1)  A B の袋から球をそれぞれ 1 個ずつ同時に取り出し,球の色を調べずに箱に入れる.

(ⅰ) 箱の中の 2 個の球のうち少なくとも 1 個が赤球である確率は アイ ウエ である.

(ⅱ) 箱の中をよくかき混ぜてから球を 1 個取り出すとき,取り出した球が赤球である確率は オカ キク であり,取り出した球が赤球であったときに,それが B の袋に入っていたものである条件付き確率は コサ である.

(2)  A B の袋から球をそれぞれ 2 個ずつ同時に取り出し,球の色を調べずに箱に入れる.

(ⅰ) 箱の中の 4 個の球のうち,ちょうど 2 個が赤球である確率は である.また,箱の中の 4 個の球のうち,ちょうど 3 個が赤球である確率は である.

(ⅱ) 箱の中をよくかき混ぜてから球を 2 個同時に取り出すとき,どちらの球も赤球である確率は タチ ツテ である.また,取り出した 2 個の球がどちらも赤球であったときに,それらのうちの 1 個のみが B の袋に入っていたものである条件付き確率は トナ ニヌ である.

2021 大学入学共通テスト 追試

数学IA

【3】〜【5】から2題選択

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 正の整数 m に対して

a2+b 2+c2 +d2=m abc d0

を満たす整数 a b c d の組がいくつあるかを考える.

(1)  m=14 のとき, を満たす整数 a b c d の組 (a ,b,c,d )

( , , , )

のただ一つである.

 また, m=28 のとき, を満たす整数 a b c d の組の個数は 個である.

(2)  a が奇数のとき,整数 n を用いて a=2 n+1 と表すことができる.このとき, n(n +1) は偶数であるから,次の条件がすべての奇数 a で成り立つような正の整数 h のうち,最大のものは h = である.

条件: a2-1 h の倍数である.

よって, a が奇数のとき, a2 で割ったときの余りは 1 である.

 また, a が偶数のとき, a2 で割ったときの余りは, 0 または 4 のいずれかである.

(3) (2)により, a2+b2 +c2+ d2 の倍数ならば,整数 a b c d のうち,偶数であるものの個数は 個である.

(4) (3)を用いることにより, m の倍数であるとき, を満たす整数 a b c d が求めやすくなる.

 例えば, m=224 のとき, を満たす整数 a b c d の組 (a ,b,c,d )

( クケ , , , )

のただ一つであることがわかる.

(5)  7 の倍数で 896 の約数である正の整数 m のうち, を満たす整数 a b c d の組の個数が 個であるものの個数は 個であり,そのうち最大のものは m = セソタ である.

2021 大学入学共通テスト 追試

数学IA

【3】〜【5】から2題選択

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 点 Z を端点とする半直線 ZX と半直線 ZY があり, 0° <∠XZY<90 ° とする.また, 0° < ∠SZX<∠XZY かつ 0 °< ∠SZY<∠XZY を満たす点 S をとる.点 S を通り,半直線 ZX と半直線 ZY の両方に接する円を作図したい.

 円 O を,次の(Step 1)〜(Step 5)の手順で作図する.

手順

(Step 1)  ∠XZY の二等分線 l 上に点 C をとり,下図のように半直線 ZX と半直線 ZY の両方に接する円 C を作図する.また,円 C と半直線 ZX との接点を D 半直線 ZY との接点を E とする.

(Step 2) 円 C と直線 ZS との交点の一つを G とする.

(Step 3) 半直線 ZX 上に点 H DG HS を満たすようにとる.

(Step 4) 点 H を通り,半直線 ZX に垂直な直線を引き, l との交点を O とする.

(Step 5) 点 O を中心とする半径 OH の円 O をかく.

2021年共通テスト追試験数学IA【5】2021100000311の図

参考図

(1) (Step 1)〜(Step 5)の手順で作図した円 O が求める円であることは,次の構想に基づいて下のように説明できる.

構想

O が点 S を通り,半直線 ZX と半直線 ZY の両方に接する円であることを示すには, OH= が成り立つことを示せばよい.

 作図の手順より, ▵ZDG ▵ZHS との関係,および ▵ZDC ▵ZHO との関係に着目すると

DG: = :

DC: = :

であるから, DG: =DC: となる.

 ここで, 3 S O H が一直線上にない場合は, ∠CDG= であるので, ▵CDG との関係に着目すると, CD=CG より OH = であることがわかる.

 なお, 3 S O H が一直線上にある場合は, DG= DC となり, DG: = DC: より OH = であることがわかる.

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   DH 1   HO 2   HS 3   OD 4   OG
5   OS 6   ZD 7   ZH 8   ZO 9   ZS

  の解答群

0   OHD 1   OHG 2   OHS 3   ZDS
4   ZHG 5   ZHS 6   ZOS 7   ZCG

(2) 点 S を通り,半直線 ZX と半直線 ZY の両方に接する円は二つ作図できる.特に,点 S ∠XZY の二等分線 l 上にある場合を考える.半径が大きい方の円の中心を O1 とし,半径が小さい方の円の中心を O2 とする.また,円 O2 と半直線 ZY が接する点を I とする.円 O1 と半直線 ZY が接する点を J とし,円 O1 と半直線 ZX が接する点を K とする.

 作図をした結果,円 O1 の半径は 5 O2 の半径は 3 であったとする.このとき, IJ= ケコ である.さらに,円 O1 と円 O2 の接点 S における共通接線と半直線 ZY との交点を L とし,直線 LK と円 O1 との交点で点 K とは異なる点を M とすると

LMLK = サシ

である.

 また, ZI= セソ であるので,直線 LK と直線 l との交点を N とすると

LNNK = SN=

である.

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