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2021 北海道大学 後期

理学部,工学部

易□ 並□ 難□

【1】  f(x )=x4 +6x3 -24x2 とし,曲線 Cy =f(x ) を考える.

(1)  C の変曲点をすべて求めよ.

(2)  C の変曲点のうち x 座標の値が最大のものを P とする. P における C の接線の方程式を求めよ.

(3)  C と(2)の接線 l で囲まれた部分の面積を求めよ.

2021 北海道大学 後期

理学部,工学部

易□ 並□ 難□

【2】  θ 0<θ <π2 を満たす実数とし,平面上の点 P と点 Q

P (12 {1- cosθ-3 (tanθ -sinθ) }, 12 {3 (1-cos θ)+tan θ-sinθ })

Q (12 {1+ cosθ-3 (tanθ +sinθ) }, 12 {3 (1+cos θ)+tan θ+sin θ})

で定める. M を線分 PQ の中点とし, O を原点 (0 ,0) とする.

(1)  PQ OM を求めよ.

(2)  3 O P Q は同一直線上にあることを示せ.

(3)  |OP | =| PM | となるような θ の値を求めよ.

《編注》 P Q の座標が 2 行に分割されることがあります.各座標の 1 行目が x 座標, 2 行目が y 座標です.

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理学部,工学部

易□ 並□ 難□

【3】 袋の中に番号 1 のカードが 1 枚,番号 2 のカードが 2 枚,番号 3 のカードが 3 枚,番号 4 のカードが 4 枚,合計 10 枚入っている.この袋の中からカードを 1 枚ずつ引いていく.ただし,一度引いたカードは袋の中には戻さないものとする. n 枚目で初めて 4 つすべての番号のカードが現れる事象を An 初めて 4 つすべての番号のカードが現れたときに引いたカードが番号 j である事象を Bj とする.

(1)  A10 の起こる確率を求めよ.

(2)  A9 B1 の起こる確率を求めよ.

(3)  A9 が起こったときの B1 が起こる条件付き確率を求めよ.

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理学部,工学部

易□ 並□ 難□

【4】 次の問に答えよ.

(1) 整数 m に対して, m2 4 で割った余りは 0 または 1 であることを示せ.

(2) 自然数 n k

25×3n =k2+ 176 (*)

を満たすとき, n は偶数であることを示せ.

(3) (2)の関係式(*)を満たす自然数の組 (n ,k) をすべて求めよ.

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