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2021-10001-0201
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2021 北海道大学 後期
理学部,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 f⁡(x )=x4 +6⁢x3 -24⁢x2 とし,曲線 C:y =f⁡(x ) を考える.
(1) C の変曲点をすべて求めよ.
(2) C の変曲点のうち x 座標の値が最大のものを P とする. P における C の接線の方程式を求めよ.
(3) C と(2)の接線 l で囲まれた部分の面積を求めよ.
2021-10001-0202
【2】 θ を 0<θ <π2 を満たす実数とし,平面上の点 P と点 Q を
P (12 ⁢{1- cos⁡θ-3 ⁢(tan⁡θ -sin⁡θ) }, 12 {3⁢ (1-cos⁡ θ)+tan⁡ θ-sin⁡θ })
Q (12 {1+ cos⁡θ-3 ⁢(tan⁡θ +sin⁡θ) }, 12 ⁢{3 ⁢(1+cos ⁡θ)+tan ⁡θ+sin⁡ θ})
で定める. M を線分 PQ の中点とし, O を原点 (0 ,0) とする.
(1) PQ→ と OM→ を求めよ.
(2) 3 点 O , P , Q は同一直線上にあることを示せ.
(3) |OP →| =| PM→ | となるような θ の値を求めよ.
《編注》 P , Q の座標が 2 行に分割されることがあります.各座標の 1 行目が x 座標, 2 行目が y 座標です.
2021-10001-0203
【3】 袋の中に番号 1 のカードが 1 枚,番号 2 のカードが 2 枚,番号 3 のカードが 3 枚,番号 4 のカードが 4 枚,合計 10 枚入っている.この袋の中からカードを 1 枚ずつ引いていく.ただし,一度引いたカードは袋の中には戻さないものとする. n 枚目で初めて 4 つすべての番号のカードが現れる事象を An , 初めて 4 つすべての番号のカードが現れたときに引いたカードが番号 j である事象を Bj とする.
(1) A10 の起こる確率を求めよ.
(2) A9∩ B1 の起こる確率を求めよ.
(3) A9 が起こったときの B1 が起こる条件付き確率を求めよ.
2021-10001-0204
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【4】 次の問に答えよ.
(1) 整数 m に対して, m2 を 4 で割った余りは 0 または 1 であることを示せ.
(2) 自然数 n , k が
25×3n =k2+ 176 ⋯(*)
を満たすとき, n は偶数であることを示せ.
(3) (2)の関係式(*)を満たす自然数の組 (n ,k) をすべて求めよ.