2021　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数の定数とし，$c\ne -{\displaystyle \frac{1}{3}}$する．関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)=2x^3+a{x}^2+bx\text{，}$$g(x)={(x+1)}^3$

と定め，$f(x)$は$x=c\text{，}$$x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$でそれぞれ極値をとるとする．

(1)　$a\text{，}$$c$をそれぞれ$b$を用いて表せ．

(2)　$f(c)=g(c)$とする．このとき，$b$の値を求めよ．

(3)　(2)の条件のもとで，$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は

$a_1=2\text{，}$$b_1=1\text{，}$

$b_{n+1}={\displaystyle \frac{7}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{4}{3}}{b}_n+n\text{，}$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{5}{3}}{b}_n-n$

$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(1)　$c_n=a_n+b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$d_n=a_n-2b_n$とおく．数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

【３】　円${(x-2)}^2+y^2=4$を$C$とし，点$\mathrm{O}$$(0,0)$と$C$上の$2$点$\mathrm{A}$$(a_1,a_2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b_1,b_2)$に対して，$\mathrm{▵OAB}$は正三角形であるとする．ただし，$a_2>0$とする．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　$C$上の点$\mathrm{P}$に対して，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$が点$\mathrm{Q}$で交わるとする．点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分するとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

を満たす実数$s\text{，}$$t$を求めよ．

【４】　自然数$n$に対して，関数$g_n(x)$を

$g_n(x)=1+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}$

と定める．$e$を自然対数の底とする．

(1)　$x>0$のとき，$e^x>1+x$となることを示せ．

(2)　$x>0$のとき，$e^x>1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$となることを示せ．

(3)　$x>0$のとき，すべての自然数$n$に対して，

$e^x>g_n(x)$

となることを，数学的帰納法によって示せ．

【５】　$r$を正の実数とし，円$x^2+y^2=r^2$を$C$とする．

(1)　$C$上の点$({\displaystyle \frac{1}{2}}r,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r)$における接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_{-r}^r}\sqrt{r^2-x^2}\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　(1)で求めた$l$と$x$軸および$C$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【６】　$i$を虚数単位とする．複素数$3+\sqrt{3}+(1-3\sqrt{3})i$が表す複素数平面上の点を$\mathrm{A}$とし，点$\mathrm{A}$を原点$\mathrm{O}$を中心として角$\theta$だけ回転した点を$\mathrm{B}$とする．ただし，$0\leqq \theta <\pi$とする．さらに，点$\mathrm{B}$を表す複素数を$a+bi$とする．ここで，$a\text{，}$$b$は実数である．

(1)　$a\text{，}$$b$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{B}(a+bi)\text{，}$$\mathrm{C}(3+i)$が一直線上にあるとする．このとき，$\theta$の値を求めよ．

(3)　(2)の条件のもとで，$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を求めよ．