2021 旭川医科大学 前期

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2021 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】  a>0 とし, f(x )=x3 -3a2 x とおく.このとき,次の各問いに答えよ.

問1 曲線 y=f (x ) が直線 y=- 1 に接するように定数 a の値を求めよ.また,このとき, -1<f (1)< 0 であることを示せ.

問2  4 (1 ,1) (1,- 1) (-1, -1) (-1, 1) を頂点とする正方形の周を K とする.曲線 y=f (x ) K との共有点の個数が,ちょうど 6 個となる定数 a の値の範囲を求めよ.

問3 曲線 y=f (x) の区間 -1 x1 における最大値を m とする. a がすべての正の値をとって変化するとき, a の値を横軸に m の値を縦軸にとって m のグラフの概形をかけ.また, m の最小値とそのときの a の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 投げたときに表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨がある.この硬貨を同時に 2 枚投げて,表が出た枚数に応じて数直線上の点 P を正の方向へ動かす. 2 枚とも表が出たら 2 だけ移動し, 1 枚だけ表が出たら 1 だけ移動するものとし, 2 枚とも裏が出たら移動しないものとする.点 P の出発点を原点として,この試行を n 回くり返したとき,点 P の座標を 3 で割った余りが 0 である確率を an 1 である確率を bn 2 である確率を cn とする.このとき,次の各問いに答えよ.

問1  a1 b1 c1 a2 b2 c2 をそれぞれ求めよ.

問2  n1 のとき, an+1 bn+1 cn+1 をそれぞれ an bn cn を用いて表せ.

問3 漸化式 xn +1= 1+xn 4 n =1 2 3 を満たす数列 { xn} の一般項を x1 を用いて表せ.

問4 数列 {a n} の一般項を求めよ.

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【3】  p=0 1 2 とし, f(x )=xp x x 0 とおく.このとき,次の各問いに答えよ.

  p=0 のとき, f(x )=x とする.

問1  0x<x のとき, f(x )<f (x ) であることを示せ.

問2 曲線 y=f (x ) と直線 x=a 直線 x=b および x 軸で囲まれる部分の面積 S を求めよ.ただし, 0a<b とする.

問3 次の不等式を証明せよ.ただし, n は正の整数とする.

22 p+3 np+1 n< k=1 nkp k< 22p+3 ( n+1) p+1 n+1

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易□ 並□ 難□

【4】  O を原点とする座標空間に, 3 A (1,-2 ,2) B (-1,- 3,1) C (-1,0 ,4) がある.このとき,次の各問いに答えよ.

問1  ▵ABC の面積を求めよ.

問2  3 A B C を含む平面に O から垂線 OH を下ろす.このとき,点 H の座標を求めよ.

問3  ▵ABC の外接円を K とする.

(1)  K の中心 J の座標を求めよ.

(2) 点 P K 上を動くとき, OP2 の最大値を求めよ.

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