2021　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　$a>0$とし，$f(x)=x^3-3a^{2}x$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　曲線$y=f(x)$が直線$y=-1$に接するように定数$a$の値を求めよ．また，このとき，$-1<f(1)<0$であることを示せ．

問２　$4$点$(1,1)\text{，}$$(1,-1)\text{，}$$(-1,-1)\text{，}$$(-1,1)$を頂点とする正方形の周を$K$とする．曲線$y=f(x)$と$K$との共有点の個数が，ちょうど$6$個となる定数$a$の値の範囲を求めよ．

問３　曲線$y=f(x)$の区間$-1\leqq x\leqq 1$における最大値を$m$とする．$a$がすべての正の値をとって変化するとき，$a$の値を横軸に$m$の値を縦軸にとって$m$のグラフの概形をかけ．また，$m$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【２】　投げたときに表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨がある．この硬貨を同時に$2$枚投げて，表が出た枚数に応じて数直線上の点$\mathrm{P}$を正の方向へ動かす．$2$枚とも表が出たら$2$だけ移動し，$1$枚だけ表が出たら$1$だけ移動するものとし，$2$枚とも裏が出たら移動しないものとする．点$\mathrm{P}$の出発点を原点として，この試行を$n$回くり返したとき，点$\mathrm{P}$の座標を$3$で割った余りが$0$である確率を$a_n\text{，}$$1$である確率を$b_n\text{，}$$2$である確率を$c_n$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$c_1\text{，}$$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$c_2$をそれぞれ求めよ．

問２　$n\geqq 1$のとき，$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}\text{，}$$c_{n+1}$をそれぞれ$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$を用いて表せ．

問３　漸化式$x_{n+1}={\displaystyle \frac{1+x_n}{4}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たす数列$\{x_n\}$の一般項を$x_1$を用いて表せ．

問４　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$p=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$とし，$f(x)=x^p\sqrt{x}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．

　$p=0$のとき，$f(x)=\sqrt{x}$とする．

問１　$0\leqq x<x^{\prime }$のとき，$f(x)<f^{\prime }(x)$であることを示せ．

問２　曲線$y=f(x)$と直線$x=a\text{，}$直線$x=b$および$x$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．ただし，$0\leqq a<b$とする．

問３　次の不等式を証明せよ．ただし，$n$は正の整数とする．

${\displaystyle \frac{2}{2p+3}}{n}^{p+1}\sqrt{n}<{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^p\sqrt{k}<{\displaystyle \frac{2}{2p+3}}{(n+1)}^{p+1}\sqrt{n+1}$

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$3$点$\mathrm{A}$$(1,-2,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,-3,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,0,4)$がある．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

問２　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を含む平面に$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．このとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

問３　$\mathrm{▵ABC}$の外接円を$K$とする．

(1)　$K$の中心$\mathrm{J}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$K$上を動くとき，${\mathrm{OP}}^2$の最大値を求めよ．