2021　北見工業大学　後期MathJax

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(1)　$y=\cos (e^{2x})$の導関数は$y^{\prime }=\text{(ⅰ)}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(2)　座標空間の点$\mathrm{A}$$(1,-1,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,0,3)$について，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と同じ向きの単位ベクトルは$\text{(ⅱ)}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(3)　$6$つの数値$3\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$6\text{，}$$4\text{，}$$3$からなるデータの標準偏差は$\text{(ⅲ)}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(4)　${\log }_{3}4\text{，}$${\log }_{\frac{1}{2}}5\text{，}$${\log }_{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$${\log }_{\sqrt{2}-1}{\displaystyle \frac{1}{2}}$を小さい順に並べると，$\text{(ⅳ)}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(5)　$2020x+1964y=4$をみたす整数の組$(x,y)$の中で$x$の絶対値が最小となるものは$(x,y)=\text{(ⅴ)}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(6)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}x|\sin x|\mathit{dx}=\text{(ⅵ)}$

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(7)　$2$が$n$個並ぶ自然数を第$n$項とする数列

$a_1=2\text{，}$$a_2=22\text{，}$$a_3=222\text{，}$$a_4=2222\text{，}$$\cdots$

の一般項は$a_n=\text{(ⅶ)}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(8)　複素数$z$が$\left|z\right|=1$と$|3z-2|=2$をみたすとき，$z=\text{(ⅷ)}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(9)　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんはそれぞれ別室で，テーブルに$1$枚ずつ置かれた$10$円，$50$円，$100$円硬貨から$2$枚以上選んで手の中に入れる．両者のテーブルに残された硬貨の総額が$20$円以上であると判明したとき，$\mathrm{B}$さんが$50$円硬貨を持っている確率は$\text{(ⅸ)}$である．ただし，考えられる硬貨の選び方はすべて等確率であるとする．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(10)　$\text{「}{x}^3-4x\geqq 0\text{」}$は$\text{「}x\geqq 2\text{」}$であるための$\text{(ⅹ)}\text{．}$

(a)　必要十分条件である

(b)　十分条件だが必要条件ではない

(c)　必要条件だが十分条件ではない

(d)　必要条件でも十分条件でもない

【２】　$xyz$空間において，不等式

$z^2+y^2\leqq 1\text{，}$$0\leqq z\leqq x^2$

で定まる立体を$V$とする．$t$を$-1\leqq t\leqq 1$をみたす実数とする．次の問に答えよ．

(1)　$V$の平面$y=0$による切り口の概形を描け．

(2)　$V$の平面$y=t$による切り口の面積を$t$の関数で表せ．

(3)　$V$の平面$x=t$による切り口の面積を$t$の関数で表せ．

(4)　$V$の体積を求めよ．

【３】　平面上の三角形$\mathrm{ABC}$と正の実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$がある．点$\mathrm{P}$について以下の命題を考える．

命題$\mathrm{X}$：点$\mathrm{P}$は$a\overrightarrow{\mathrm{PA}}+b\overrightarrow{\mathrm{PB}}+c\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$をみたす．

命題$\mathrm{Y}$：点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ABC}$の内部にある．

命題$\mathrm{Z}$：$\mathrm{▵PBC}\text{，}$$\mathrm{▵PCA}\text{，}$$\mathrm{▵PAB}$の面積の比は$a:b:c$である．

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{y}$とする．次の問に答えよ．

(1)　命題$\mathrm{X}$が成り立つとする，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{y}$および$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表し，命題$\mathrm{Y}$が成り立つことを示せ．

(2)　命題$\mathrm{X}$が成り立つとする．直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{y}$および$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表し，命題$\mathrm{Z}$が成り立つことを示せ．

(3)　命題$\text{「}\mathrm{Z}⟹\mathrm{X}\text{」}$が成り立たないことを示せ，

【４】　以下の文を読み，その中にある問に答えよ．

---

　自然数とは正の整数を意味する．

　$n$を$2$以上の自然数とする．$n$が$k$個の自然数$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_k$の和になっているとき，すなわち

$n=a_1+a_2+\cdots +a_k$

となるとき，$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$を$n$の分割と呼ぶことにする．

　例えば，$n=8$は$8=3+2+2+1$と表すことができるので，$(3,2,2,1)$は$8$の分割である．

　$n$の分割$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$に対し，$a_1$から$a_k$の積を$m(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$で表すことにする．例えば，前述の$n=8$の分割である$(3,2,2,1)$の場合，

$m(3,2,2,1)=3\cdot 2\cdot 2\cdot 1=12$

となる．

　$m(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$のことを分割$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$の積と呼ぶことにする．自然数$n$に対し，$n$の分割の積の最大値を求めてみよう．

　以下，簡単のため$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$は$a_1\geqq a_2\geqq \cdots \geqq a_k$と減少していると約束する．例えば$n=5$のとき，分割は

$(1,1,1,1,1)\text{，}$$(2,1,1,1)\text{，}$$(2,2,1)\text{，}$$(3,1,1)\text{，}$$(3,2)\text{，}$$(4,1)\text{，}$$(5)$

の$7$通りある．それぞれの分割について積を計算すると$1\text{，}$$2\text{，}$$4\text{，}$$3\text{，}$$6\text{，}$$4\text{，}$$5$であるから，積は分割が$(3,2)$のとき最大値$6$をとる．

　$n$の分割のうち，積が最大となるものについて次が成り立つ．

命題の証明：背理法で示す．すなわち，ある$i$について$a_i=1$であると仮定して，予盾が生じることを示す．

　ある$i$について$a_i=1$であるから$a_k=1$である．

　$k=1$ならば$n=a_k=1$で$n$が$2$以上の自然数にならないので$k\ne 1$である．よって$(a_1+1,a_2,\cdots ,a_{k-1})$は$n$の分割であり，

$m(a_1,a_2,\cdots ,a_k)<m(a_1+1,a_2,\cdots ,a_{k-1})$

が成り立つ．

　これは$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$が$n$の分割の中で積が最大であることに矛盾する．

　[命題の証明終わり」

　以下，$n$の分割$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$は，$n$の分割のうち積が最大であるものとする．$n$の分割の中で積が最大となる分割はいくつか存在するかもしれないが，そのうちの$1$つを選ぶわけである．上で示した命題より，すべての$i$について$a_i\ne 1$である，

　$n$の分割$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$が$a_i\geqq 4$となる$a_i$を含むとする．このとき$a_i-2$は$2$以上の自然数となる．よって$a_i=(a_i-2)+2$と表せば，$(a_i-2,2)$は$2$以上の自然数による$a_i$の分割である．$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$から$a_i$を除いて，$a_i-2$と$2$を含めることで，$n$の$k+1$個の$2$以上の自然数による分割が得られる，これを$(b_1,b_2,\cdots ,b_{k+1})$と表すことにする．

$(a_1-2)\cdot 2=2a_i-4=a_i+(a_i-4)\geqq a_i$

であることから$m(b_1,b_2,\cdots ,b_{k+1})\geqq m(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$である．$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$は$n$の分割の中で積が最大のものであったから$(b_1,b_2,\cdots ,b_{k+1})$も積が最大の$n$の分割となる．

　上の操作で得られた$n$の分割$(b_1,b_2,\cdots ,b_{k+1})$について，さらに$b_j\geqq 4$となる$j$が存在する場合，$b_j$を除いて$b_j-2$と$2$を含めることで，$n$の分割の中で積が最大となる新たな分割が得られる．

　ここまでの操作を繰り返すことで，次の主張が成り立つ，

　このようにしてつくられた$n$の分割を，あらためて$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$とする．$a_i\ne 1$であることも考慮すると，各$a_i$は$2$または$3$となる．

　以下，$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$は，$n$の分割のうち積が最大であるもので，さらに，

$a_1=a_2=\cdots =a_{k-p}=3\text{，}$$a_{k-p+1}=a_{k-p+2}=\cdots =a_k=2$

であるとする．つまり$a_i=2$となる$i$が$p$個，$a_j=3$となる$j$が$k-p$個あるとする．ただし$p$は$0\leqq p\leqq k$をみたす整数で$p=0$のときは$a_i=2$となる$i$が存在しない，$p=k$のときは$a_j=3$となる$j$が存在しない，と考える．

　ここで$p\geqq 3$であると仮定する．$2+2+2=3+3$であり，

$2\cdot 2\cdot 2=8<9=3\cdot 3$

であるので，$3$つの$2$を$2$つの$3$に置き換えることで，積がより大きい分割をつくることができる．これは$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$が$n$の分割のうち積が最大であることに矛盾する，$p\geqq 3$であると仮定して矛盾が生じたので$p\leqq 2$である．

　よって$n$の分割のうち積が最大であるものの$1$つとして，

$a_1=a_2=\cdots =a_{k-p}=3\text{，}$$a_{k-p+1}=a_{k-p+2}=\cdots =a_k=2$$\text{（}p\leqq 2\text{）}$

と表される分割$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$があることがわかった．逆に，$2$以上の自然数$n$について，この形で表される分割がただ$1$つだけあることがわかる．これにより$n$の分割の積の最大値が決定できる．