2021　弘前大学　前期MathJax

【１】　$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$15\text{，}$$16$の数字が書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつある．これら$16$枚のカードから$3$枚を同時に選ぶとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$枚のカードの数の積が$3$の倍数である確率を求めよ．

(2)　$3$枚のカードの数の和が$3$の倍数である確率を求めよ．

(3)　$3$枚のカードの数の積が$3$の倍数でなく，$3$枚のカードの数の和も$3$の倍数でない確率を求めよ．

【２】　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，関数$y=2\cos 2\theta \sin \theta +6{\cos }^2\theta +7\sin \theta$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　座標平面上の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2,1)\text{，}$${\mathrm{B}}_0$$(3,4)$を頂点とする三角形$\mathrm{O}\mathrm{A}{\mathrm{B}}_0$がある．辺$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_0$を$3:2$に内分する点を${\mathrm{C}}_1$とし，点${\mathrm{C}}_1$から辺$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0$に下ろした垂線と辺$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0$との交点を${\mathrm{B}}_1$とする．また，線分$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1$を$3:2$に内分する点を${\mathrm{C}}_2$とし，点${\mathrm{C}}_2$から辺$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0$に下ろした垂線と辺$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0$との交点を${\mathrm{B}}_2$とする．以下同樣に，自然数$n$に対し，線分$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_{n-1}$を$3:2$に内分する点を${\mathrm{C}}_n$とし，点${\mathrm{C}}_n$から辺$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0$に下ろした垂線と辺$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0$との交点を${\mathrm{B}}_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{O}\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1$の面積を求めよ．

(2)　自然数$n$に討し，三角形$\mathrm{O}\mathrm{A}{\mathrm{B}}_n$の面積を$n$を用いて表せ．

(3)　自然数$n$に対し，三角形$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$の面積を$n$を用いて表せ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{\log \right({(n+1)}^5\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2^{n+1}}})$$-\log (n^5\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2^n}})\}$

【４】　次の問いに答えよ．

(2)　$m\text{，}$$n$を自然数とするとき，次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\cos mx\cos nx\mathit{dx}$

【５】　$x>0$とするとき，関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}|x-t|e^t\mathit{dt}$

の値を最小にする$x$の値を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

【６】　$p$を正の実数とする．放物線$y^2=4px$上の点$\mathrm{Q}$における接線$l$が準線$x=-p$と交わる点を$\mathrm{A}$とし，$\mathrm{Q}$から準線$x=-p$に下ろした垂線と準線$x=-p$との交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$\mathrm{Q}$の$y$座標は正とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\alpha$とするとき，三角形$\mathrm{AQH}$の面積を，$\alpha$と$p$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{Q}$における法線が準線$x=-p$と交わる点を$\mathrm{B}$とするとき，三角形$\mathrm{AQH}$の面積は線分$\mathrm{AB}$の長さの${\displaystyle \frac{p}{2}}$倍に等しいことを示せ．

【７】　次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$の増減および漸近線を調ベて，グラフの概形をかけ．

(2)　$y={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$を$x$について解け．

(3)　曲線$y={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【８】　関数$f(x)$を

$f(x)=e^{-2x}{\sin }^{2}x$

と定める．$a$を正の実数とするとき，$0\leqq x\leqq a$における$f(x)$の最大値を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

【９】　座標平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=2\sqrt{3}$

を満たすとする．また同一平面上の点$\mathrm{P}$は

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$

を満たしながら動くとする．次の問いに答えよ．

(1) 実数$s\text{，}$$t$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

と表すとき，$s$がとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{OB}$上にないとき，三角形$\mathrm{OBP}$の面積の最大値を求めよ．