2021　東北大学　後期MathJax

(＊)　$48k+18l=m$

を考える．

(1)　次の空欄に入るべき$m$に関する条件を答えのみ記せ．

　与えられた整数$m$に対し，(＊)が整数解$(k,l)$をもつための必要十分条件は$$である．

(2)　上の(1)で記した空欄の条件が必要十分条件であることを示せ．

(3)　$m=540$のとき，方程式(＊)を満たす正の整数$k\text{，}$$l$の組$(k,l)$をすべて求めよ．

(1)　$V$を$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を用いて表せ．

(2)　$V$の最大値と，そのときに$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の満たす関係式を求めよ．

(1)　直線$l$は，$0$でないすべての実数$a$に対して曲線$C_a$と接するとする．-このような直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$a$を$a\geqq 1$の範囲で動かしたときに曲線$C_a$が通過する領域を図示せよ．

$\mathrm{AA}\text{，}$$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{BB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{CB}\text{，}$$\mathrm{CC}$

の$7$通りあるので，$f_2=7$である．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合わない並べ方のうち，$n$番目が$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$であるものを$g_n$通り，$n$番目が$\mathrm{C}$であるものを$h_n$通りとする．このとき$g_{n+1}\text{，}$$h_{n+1}$を$g_n\text{，}$$h_n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{f_n\}$に対して，$f_{n+2}$を$f_{n+1}$と$f_n$を用いて表せ．

(3)　$a_n={\displaystyle \frac{f_{n+1}}{f_n}}$により定まる数列$\{a_n\}$について，$a_n$と$a_{n+1}$の大小関係を調べよ．

$C_1\text{：}{(x-\tan \theta )}^2+{(y-\tan \theta )}^2=9$

$C_2\text{：}{(x-a\cos \theta +1)}^2+{(y-a\sin \theta -1)}^2=1$

以下の問いに答えよ．

(1)　$t={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$とおく．$C_1$の中心と$C_2$の中心の間の距離を$L$とする．$L^2$を$t$と$a$を用いて表せ．

(2)　ある実数$a$に対して，$2$つの円$C_1\text{，}$$C_2$がただ$1$つの共有点をもつような$\theta$がちょうど$5$個存在するとする．このとき$a$の値を求めよ．

(1)　曲線$C$と円$x^2+y^2=1$が異なる$4$個の交点をもつような$b$の値の範囲を求めよ．

(2)　$b$が(1)で求めた値の範囲にあるとき，曲線$C$と円$x^2+y^2=1$の$4$個の交点の$x$座標を$\pm \alpha \text{，}$$\pm \beta$$\text{（}0<\beta <\alpha \text{）}$とする．曲線$C$と直線$y=f(\alpha )\text{，}$$y=f(\beta )$で囲まれた領域を$y$軸のまわりに一回転させてできる立体の体積を$b$を用いて表せ．

(1)　$2$以上の整数$n$に対して不等式${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}<\log n$を示せ．

(2)　正の整数$n$に対し

$a_n={\displaystyle \frac{1+2+\cdots +n}{n^2}}$

により数列$\{a_n\}$を定める．このとき，等式

$\underset{n\to \infty }{\mathrm{iim}}{\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

を示せ．

(3)　さらに正の整数$n$に対し

$b_n={\displaystyle \frac{n{a}_1+(n-1)a_2+\cdots +2a_{n-1}+a_n}{n^2}}$

により数列$\{b_n\}$を定めるとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

(1)　$\alpha$に垂直で大きさが$1$のベクトルをすべて求めよ．

(2)　中心が点$\mathrm{P}$$(a,b,c)$で半径が$r$の球が平面$\alpha \text{，}$$xy$平面，$yz$平面，$zx$平面のすべてに接し，かつ$a\geqq 0\text{，}$$b\geqq 0$が満たされている．このような点$\mathrm{P}$と$r$の組をすべて求めよ．