2021　宮城教育大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上のベクトル$\overrightarrow{a}=(26,-11)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}$と垂直であり零ベクトルでなく成分がともに整数であるベクトル$\overrightarrow{u}$のなかで，その大きさが最小となるものをすべて求めよ．

(2)　(1)で求めた大きさが最小となるベクトルのなかで，$x$成分が正であるものを$\overrightarrow{b}$とする．$\overrightarrow{a}$との内積が$1$であり成分がともに整数であるベクトル$\overrightarrow{v}$のなかで，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{v}$の大きさが最小であるものをすべて求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$をとり

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=p\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=q\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=r\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

とおく．ただし$0<p<1\text{，}$$0<q<1\text{，}$$0<r<1$とする．

　$2$直線$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{AB}$は点$\mathrm{X}$で交わり，$2$直線$\mathrm{QR}\text{，}$$\mathrm{BC}$は点$\mathrm{Y}$で交わり，$2$直線$\mathrm{PR}\text{，}$$\mathrm{AC}$は点$\mathrm{Z}$で交わるとする．

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$

とおいて，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OX}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OY}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OZ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{Z}$は同一直線上にあることを示し，$2$つの線分$\mathrm{XY}\text{，}$$\mathrm{YZ}$の長さの比を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

(3)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$q={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき，$3$点$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{Z}$を通る直線と直線$\mathrm{PX}$が直交するように定数$r$の値を定めよ．

【３】　$1$辺の長さが$a$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に点${\mathrm{P}}_1$をとり，線分$\mathrm{B}{\mathrm{P}}_1$の長さを$p$とする．ただし，点${\mathrm{P}}_1$は点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とは異なるとする．点${\mathrm{P}}_1$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{AB}$の交点を${\mathrm{Q}}_1$とし，点${\mathrm{Q}}_1$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{AC}$の交点を${\mathrm{R}}_1$とし，点${\mathrm{R}}_1$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を${\mathrm{P}}_2$とする．同様に，点${\mathrm{P}}_2$から始めて点${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{R}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$を定め，点${\mathrm{P}}_3$から始めて点${\mathrm{Q}}_3\text{，}$${\mathrm{R}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4$を定め，以下これを繰り返して点

${\mathrm{P}}_n\text{，}$${\mathrm{Q}}_n\text{，}$${\mathrm{R}}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を定める．線分$\mathrm{B}{\mathrm{P}}_n$の長さを$a_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_1\text{，}$$\mathrm{C}{\mathrm{R}}_1\text{，}$$\mathrm{B}{\mathrm{P}}_2$の長さを$a$と$p$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を$a$と$p$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$として，$2$点$\mathrm{D}\text{，}$${\mathrm{P}}_n$の間の距離を$d_n$とする．無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{d}_n$の値を$a$と$p$を用いて表せ．

【４】　関数

$f(x)=e^{-x}(1-\cos x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 4\pi \text{）}$

について，次の問いに答えよ．ただし，必要ならば$e^{\pi }<{(2+\sqrt{3})}^3<{\displaystyle \frac{e^{7\pi }}{8}}$が成り立つことを用いてよい．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{5\pi }{2}}\right)<f\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$を示せ．

(2)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフをかけ．

(3)　$c$を正の定数とするとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=c$との共有点の個数を求めよ．

【５】　関数$y=f(x)$は逆関数$y=g(x)$をもつとする．定数$a\text{，}$$b$に対して

$f(a)=c\text{，}$$f(b)=d$

とする．導関数$f^{\prime }(x)$が連続であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　置換積分法を用いて次の等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle {\int }_c^d}{\{g(y)\}}^2\mathit{dy}={\displaystyle {\int }_a^b}{x}^2{f}^{\prime }(x)\mathit{dx}$

(2)　部分積分法を用いて次の等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle {\int }_a^b}{x}^2{f}^{\prime }(x)\mathit{dx}$$=b^{2}d-a^{2}c-2{\displaystyle {\int }_a^b}xf(x)\mathit{dx}$

(3)　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x{e}^x}}$とおくと，関数$y=f(x)$$\text{（}x>0\text{）}$は逆関数をもつ．曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x{e}^x}}$$\text{（}x>0\text{）}$と$2$直線$y={\displaystyle \frac{1}{e}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{2e^2}}$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．(1)と(2)の等式を用いて$V$の値を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で$\sin \theta ={\displaystyle \frac{7}{11}}$のとき，$\tan 2\theta$の値を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(2)　$x\geqq 1$かつ$y\geqq 3$かつ$x{y}^2=27$のとき，

$({\log }_{3}x)\cdot ({\log }_{3}y)$

の最大値と最小値を求めよ．

【３】　座標平面上の曲線

$C\text{：}y=x^3-px+q$$\text{（}p\text{，}q$は定数）

を考える．曲線上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$として，直線$l$は$\mathrm{P}$とは異なる点$\mathrm{Q}$で$C$と交わるとする．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を$p\text{，}q\text{，}$$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$\alpha$を用いて$\beta$を表せ．

(3)　曲線$C$と直線$l$で囲まれた図形の面積を$\alpha$を用いて表せ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$\sin 2\theta >\sin \theta$を解け．

【１】　次の問に答えよ．

(2)　関数$f(x)=({\log }_{\frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{x}{25}})\left({\log }_{\frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{x}{9}}\right)$の$0<x\leqq 27$における最小値を与える$x$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}|t^2-4t+3|\mathit{dt}}$$\text{（}x\geqq 1\text{）}$

とおくとき，関数$f(x)$を求めて$y=f(x)$のグラフをかけ．