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2021 秋田大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えなさい.

(ⅰ)  x=3 -23 +2 y=3 +23 -2 のとき, x+y の値と x2+ y2 の値を求めなさい.

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【1】 次の問いに答えなさい.

(ⅱ)  1 から 9 までの番号が 1 つずつ書かれた 9 枚のカードの中から, 3 枚のカードを同時に引く.このとき, 3 枚のカードの番号の積が 24 以下になる確率を求めなさい.

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【1】 次の問いに答えなさい.

(ⅲ) 不等式 x+4 4x-5 を満たす実数 x の集合を A 不等式 |x- 3|<2 を満たす実数 x の集合を B とする.また,定数 a b に対して 2 次不等式 x2 +ax+b <0 を満たす実数 x の集合を X とする.実数全体を全体集合とするとき, X=A B となるように a b の値を定めなさい.

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【1】 次の問いに答えなさい.

(ⅳ)  p を実数とし, a= (2,4 ) b= (p,2- p) とする. a b のなす角が 45 ° のとき, p の値を求めなさい.

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【2】 関数 f( x)=x2 -1 に対し,曲線 y=f (x ) 上に点 A (a,f (a) ) をとる.次の問いに答えなさい.

(ⅰ)  a>0 とする.点 A と点 O (0,0 ) の距離を最小にする a の値と,そのときの距離を求めなさい.

(ⅱ)  a0 とする.点 A における曲線 y=f (x ) の接線と x 軸との交点の x 座標を求めなさい.

(ⅲ)  a=2 とする.曲線 y=f (x ) A における接線,および x 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい.

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【3】  ▵ABC において,辺 BC CA AB の長さをそれぞれ a b c で表し, ∠A ∠B ∠C の大きさをそれぞれ A B C で表す.次の問いに答えなさい.

(ⅰ)  b=7 c=5 cosA= 17 であるとき, ▵ABC の外接円の半径 R を求めなさい.

(ⅱ)  b=2c cosA= 14 とき, sinA:sin B:sinC を求めなさい.

(ⅲ)  b=6 c=2 であり, 6cosC -2cosB =a が成り立つとき, B a の値をそれぞれ求めなさい.

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【4】 初項 5 公比 3 の等比数列 {a n} に対し,次の問いに答えなさい.ただし, log102 =0.3010 log103 =0.4771 とする.

(ⅰ) 数列 {b n} を, b1=2 bn+1 -bn=a n n= 1 2 3 により定める.数列 {b n} の一般項を求めなさい.

(ⅱ)  102<a n<106 を満たす,すべての自然数 n を求めなさい.

(ⅲ) 数列 {a n} の初項から第 n 項までの和を Sn とする. Sn>10 5 を満たす,最小の自然数 n を求めなさい.

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【5】 関数 f( x)= 11+ex について,次の問いに答えなさい.

(ⅰ)  x が実数全体を動くとき, f(x ) のとりうる値の範囲を求めなさい.

(ⅱ) 定積分 01f (x) dx を求めなさい.

(ⅲ)  a を実数とする.点 (a ,f(a )) における曲線 y=f (x ) の接線を l とし, l と直線 y=2 との交点を P l と直線 y=- 1 との交点を Q とする.このとき,線分 PQ の長さが最小となる a の値を求めなさい.

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【6】 次の問いに答えなさい.ただし, i は虚数単位とする.

(ⅰ) 複素数 α β |α+ β|=| α-β|= 1 を満たすとき, |αβ | の最大値を求めなさい.

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【6】 次の問いに答えなさい.ただし, i は虚数単位とする.

(ⅱ) 複素数 α β αβ =1 を満たすとする.原点を O とする複素数平面上において, α の表す点を P とし, β の表す点を Q とする.線分 OP が実軸の正の向きとなす角を θ とし, 0<θ< π2 とする. ▵OPQ の面積が 3 4 のとき, θ の値を求めなさい.

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【6】 次の問いに答えなさい.ただし, i は虚数単位とする.

(ⅲ)  m n 1m 10 1n10 を満たす整数とする.

( 12+ 32 i)m (1 2- 12 i) n=1 2+ 12 i

となる m n の組を求めなさい.

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【7】 座標空間に 4 A (1,-2 ,-2) B (3,2, 0) C (0,3, 2) D (4,-1 ,0) をとる.点 A B C D A を順に線分で結んでできる折れ線 L=ABCDA を考える.次の問いに答えなさい.

(ⅰ)  BA BC のなす角を α DA DC のなす角を β とする. α β の大小を比較しなさい.

(ⅱ)  k を定数とする.折れ線 L において y 座標が k 以上である部分を L1 y 座標が k 以下である部分を L2 とする. L1 の長さと L2 の長さが等しくなるように, k の値を定めなさい.

(ⅲ) 折れ線 L 上を動く点 P が,点 A を出発し, B C D を順に通って A に戻るとする. 2 A P 間の距離 AP が増加から減少に変わるときの点 P の座標,および AP が減少から増加に変わるときの点 P の座標を求めなさい.

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【8】 関数 f( x)=e x 3-x について,次の問いに答えなさい.

(ⅰ)  k を定数とするとき,関数 y=f (x) のグラフと直線 y=k との共有点の個数を求めなさい.

(ⅱ) 関数 y=f (x) のグラフと y=e x のグラフとの共有点の座標を求めなさい.

(ⅲ)  D y=f (x) のグラフと y=e x のグラフで囲まれた部分とする. m を定数とし,直線 y=m のうち D との共通部分が,線分または互いに交わらない線分の集まりであるとき,それらの線分の長さの合計を,直線 y=m D 部分の長さとよぶ. me13 として,直線 y=e 13 D 部分の長さと直線 y=m D 部分の長さが等しくなるように, m の値を 1 つ定めなさい.

志望別問題選択一覧

国際資源学部 【1】【3】【4】【5】

教育文化(理数教育コース除く)学部 【1】【2】【3】【4】

教育文化(理数教育コース)学部 【1】【3】【4】【5】

医学部  【5】【6】【7】【8】

理工学部 【1】【3】【4】【5】

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