2021　山形大学　前期MathJax

【１】　$3$個のさいころ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を同時に投げる．それぞれのさいころの出る目を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$ab=c$となる確率を求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$のうち，少なくとも$1$つが偶数となる確率を求めよ．

(3)　$a+b+c>5$となる確率を求めよ．

(4)　$(a-b)(b-c)(c-a)<0$となる確率を求めよ．

(5)　$ab-bc$が負の奇数となる確率を求めよ．

(6)　$ab-bc$が正の偶数となる確率を求めよ．

【２】　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+3$を$C$とし，$C$上に点$\mathrm{P}$$(a,{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2-2a+3)$がある．ただし，$0<a<3$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　放物線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線$L_1$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$を通り，傾きが$1$の直線$L_2$の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　放物線$C\text{，}$直線$L_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．

(4)　放物線$C$と直線$L_2$で囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．

(5)　$S_1=2S_2$となる$a$の値を求めよ．

【３】　平面上の$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=8\text{，}$$\mathrm{CA}=6$とする．辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，辺$\mathrm{BC}$の垂直二等分線が線分$\mathrm{AE}$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を用いて表せ．

(5)　$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(6)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

【４】　等差数列$\{a_n\}$が次の$2$つの式を満たすとする．

$a_3+a_4+a_5=27$

$a_5+a_7+a_9=45$

初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$a_1+a_2+\cdots +a_n$を$S_n$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　初項$a_1$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$S_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}({\displaystyle \frac{1}{S_{2k-1}}}+{\displaystyle \frac{1}{S_{2k}}})$を$n$を用いて表せ．

(5)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{(k+1)S_k}}$を$n$を用いて表せ．

【５】　次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)=x^2(2\log x-1)$を微分せよ．

(2)　関数$F(x)={\displaystyle {\int }_{-2}^x}\left|t\right|\mathit{dt}$を微分せよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{e}^{-x}\cos x\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　関数$G(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}\cos t\mathit{dt}$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(5)　$a>0$とする．次の関数$g(x)$が$x=2$で連続であるとき，$a$の値を求めよ．

$g(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{x+a}& \text{（}x\geqq 2\text{）}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}(x+a)& \text{（}x<2\text{）}\end{array}$

【６】　複素数$\alpha$は等式${\alpha }^6={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(1+i)$を満たすとする．また，$\alpha$の偏角$\theta$は${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$を満たすとする．ただし，$i$は虚数単位である．さらに，$r$を正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　絶対値$\left|\alpha \right|$と偏角$\theta$を求めよ．

(2)　${\alpha }^2+{\alpha }^4+{\alpha }^6$と${({\alpha }^3+{\alpha }^5+{\alpha }^7)}^2$の値を求めよ．

(3)　複素数平面上において，点$\alpha$と点$r{\alpha }^2$を通る直線を$L_1\text{，}$点$r^2{\alpha }^3$と点$r^3{\alpha }^4$を通る直線を$L_2$とする．$L_1$と$L_2$のなす角${\theta }_1$$(0\leqq {\theta }_1\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を求めよ．

(4)　複素数平面上において，点$r^3{\alpha }^4$と点$r^5{\alpha }^6$を通る直線と実軸との交点を表す複素数を$r$を用いて表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_{-3}^2}(x^2-2|x-1|)\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(-1,-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(a-1,b+1,3)\text{，}$$\mathrm{C}$$(b,a,-3)$が一直線上にあるとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$5$進法と$7$進法で表すと，ある自然数$n$はともに$2$桁の数になり，$1$桁目の数字と$2$桁目の数字の並びが互いに逆になる．$n$を$10$進法で表せ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}\text{，}$$\mathrm{AC}$を$t:(1-t)$$\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$および$t$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PS}}=\overrightarrow{\mathrm{QR}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を示せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$のなす角を求めよ．

(4)　四角形$\mathrm{PQRS}$の面積を$t$の式で表し，その最大値を求めよ．

【３】　連続関数$f(x)$が

$f(x)=2x^2-4x+{\displaystyle {\int }_0^2}f(t)\mathit{dt}\cdots$(＊)

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　等式(＊)を満たす関数$f(x)$を求めよ．

(2)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(3)　$-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(4)　$xy$平面上の曲線$y=f(x)$$\text{（}x\leqq 0\text{）}$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【４】　数列$\{S_n\}$を

$S_1=2\text{，}$$S_2=8\text{，}$$S_n-S_{n-2}=2n^2$$\text{（}n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots \text{）}$

で定め，数列$\{T_n\}$を

$T_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _{k=1}^m}{(2k-1)}^2& \text{（}n=2m-1\text{のとき）}\\ {\displaystyle \sum _{k=1}^m}{(2k)}^2& \text{（}n=2m\text{のとき）}\end{array}$

で定める．ただし，$m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S_n=2T_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を示せ．

(2)　$T_n={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(n+2)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和が$S_n$に等しいとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．