2021　茨城大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　正の整数$a\text{，}$$b$に関する$2$つの条件$p\text{，}$$q$を次のように定める．

$p\text{：}{a}^2+ab+b^2$は$3$の倍数である

$q\text{：}a+2b$は$3$の倍数である

このとき，「必要条件であるが十分条件ではない」，「十分条件であるが必要条件ではない」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，次の$$にあてはまるものを理由をつけて答えよ．

$p$は$q$であるための$\text{．}$

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　大中小$3$個のさいころを同時に投げる．小のさいころの目が偶数であったとき，$3$個のさいころの目の積が正の整数$n\text{，}$$m$を用いて$2^n\cdot 3^m$と表される条件付き確率を求めよ．

【２】　$x\text{，}$$y$を条件

$x\geqq 1\text{，}$$x^3\leqq y\leqq x^4\text{，}$$5\leqq x^2{y}^4\leqq 10$

を満たす実数とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$X={\log }_{10}x\text{，}$$Y={\log }_{10}y$とおくとき，$X\text{，}$$Y$が満たす連立不等式の表す領域を$XY$平面上に図示せよ．

(2)　$xy$の最小値と，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【３】　$3$つの円$C_1\text{：}{(x-1)}^2+{(y-4)}^2=27\text{，}$$C_2\text{：}{(x-3)}^2+{(y-1)}^2=10\text{，}$$C_3\text{：}{(x-4)}^2+y^2=10$について，次の各問に答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の$2$つの交点を通る直線$l$の方程式と，$C_1$と$C_2$の$2$つの交点を通る直線$m$の方程式を求めよ．

(2)　$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点という．$l$上の格子点の座標と，$m$上の格子点の座標をすべて求めよ．

(3)　$l$と$m$の交点の座標を$(a,b)$とする．$l$上の格子点の$x$座標で$a$以上のものを小さい順に並べた数列を$\{a_n\}$とし，$m$上の格子点の$y$座標で$b$以上のものを小さい順に並べた数列を$\{b_n\}$とするとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k{b}_k}}$

を求めよ．

【４】　$a$を実数とするとき，関数

$f(x)=x^3-3(a+1)x^2+12ax-a$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

の最小値$m(a)$について，次の各問に答えよ．

(1)　$a\leqq 0$のとき，$m(a)$を求めよ．

(2)　$m(a)$を求めよ．

【１】　$e$は自然対数の底とし，$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{e^x-1}}$$\text{（}x>0\text{）}$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸，極限$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$および$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を調べ，グラフの概形をかけ．

(2)　$x>0$のとき，不等式$f(x)>{\displaystyle \frac{1}{x}}$を示せ．

(3)　$0<t<1$とし，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}t\leqq x\leqq 1\text{），}$および$2$直線$x=t\text{，}$$x=1$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$および極限値$\underset{t\to +0}{\lim }S(t)$を求めよ．

【２】　$0\leqq \theta <2\pi$とし，$z=\cos \theta +i\sin \theta$とする．等式$iz={\displaystyle \frac{1}{z}}$が成り立つときの$\theta$の値のうち，最小であるものを$\alpha$とする．以下の各問に答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　等式$iz={\displaystyle \frac{1}{z}}$が成り立つときの$\theta$の値をすべて求めよ．

(2)　$0<\theta <\alpha$のとき，複素数平面において$3$点$z\text{，}$$iz\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{z}}$を頂点とする三角形の面積を$S(\theta )$とする．$S(\theta )$を求めよ．

(3)　$\theta$が$0\leqq \theta <\alpha$の範囲を動くとき，(2)で定めた$S(\theta )$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　点$(2,1)$から放物線$y={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2-1$に引いた$2$つの接線のうち，傾きが小さい方を$l$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$l$の方程式を$ax+by=c$の形で表せ．ただし，$a$は正の整数，$b\text{，}$$c$は整数とし，$\left|a\right|\text{，}$$\left|b\right|\text{，}$$\left|c\right|$の最大公約数は$1$とする．

(2)　(1)で求めた$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対して，不定方程式$ax+by=c$の整数解をすべて求めよ．

(3)　$n$を自然数とする．$l$上の点で，$x$座標と$y$座標がともに$n$以下の自然数であるものの個数を$A(n)$とする．$A(5)\text{，}$$A(6)\text{，}$$A(7)\text{，}$$A(8)\text{，}$$A(9)$を求めよ．さらに，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{A(n)}{n}}$を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(1)　$i$は虚数単位とし，$\alpha =1+2i$とおく．複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}({\alpha }^2)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(2)　関数$y={(x^2+1)}^3{(x-2)}^4$を微分せよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(3)　座標平面上の曲線$C\text{：}y=x\sqrt{x}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$について次の(ⅰ)と(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$上の点$(4,8)$における接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と$y$軸および$2$直線$y=1\text{，}$$y=8$で囲まれた部分の面積$T$を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　等式$x^2=a+b(x-1)+c{(x-1)}^2$が$x$についての恒等式となるように，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(2)　次の式の計算をせよ．

$2{\log }_{9}54-{\log }_3{\displaystyle \frac{2}{243}}$

【２】　以下の各問に答えよ．

(3)　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=1+{\displaystyle \frac{1}{{(n+1)}^2}}{a}_n^2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，すべての自然数$n$に対して，不等式$1\leqq a_n\leqq 2$が成り立つことを示せ．

【３】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4\text{，}$$\mathrm{OB}=5\text{，}$$\mathrm{AB}=6$とする．さらに辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，以下の各問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\overrightarrow{b}$を満たす実数$k$の値を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{HCB}$の外心を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

【４】　$f(x)=2\sqrt{1+x^2}-x$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$および第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　方程式$f^{\prime }(x)=0$を解け．

(3)　$2$つの極限$\underset{x\to \infty }{\lim }(f(x)-x)$および$\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)+3x)$を求めよ．

(4)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，漸近線を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(注)　関数$y=g(x)$について，

$\underset{x\to \infty }{\lim }\{y-(ax+b)\}=0$

または

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\{y-(ax+b)\}=0$

が成り立つとき，直線$y=ax+b$は曲線$y=g(x)$の漸近線である．