2021　茨城大学　後期理(物理学科)学部総合問題MathJax

【１】　以下の問１，２に答えよ．解答は導出過程も含めて記述せよ．

問１　方程式$z^3=-8i$をみたす複素数$z$をすべて求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　以下の問１，２に答えよ．解答は導出過程も含めて記述せよ．

問２　$\theta$を媒介変数として，$x=2\theta -\sin \theta \text{，}$$y=2-\cos \theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$で表される曲線$C$に対して，次の(1)から(5)に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}$を計算せよ．

(2)　$x(\theta )$があたえられた$\theta$の区間で単調に増加することを示し，$x$がとる値の範囲を求めよ．

(3)　曲線$C$を表す関数を$y=f(x)$とする．${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$\theta$の関数として表せ．

(4)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，最大値と最小値，および，そのときの$x$の値を求めよ．

(5)　関数$y=f(x)$を$0$から$2\pi$まで$x$で積分せよ．