2021　筑波大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面において$2$つの円

$C_1\text{：}{x}^2-2x+y^2+4y-11=0\text{，}$

$C_2\text{：}{x}^2-8x+y^2-4y+k=0$

が外接するとし，その接点を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$k$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち点$\mathrm{P}$を通らないものは$2$本ある．これら$2$直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【２】　$t=\sin \theta +\cos \theta$とし，$\theta$は$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くものとする．

(1)　$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$と$\cos 4\theta$を，それぞれ$t$を用いて表せ．

(3)　${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta =\cos 4\theta$であるとき，$t$の値をすべて求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(-2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)$を通る平面を$\alpha$とする．$2$点$\mathrm{P}$$(0,5,5)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(1,1,1)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$に平行な直線を$l$とする．直線$l$上の点$\mathrm{R}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$の交点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+k\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$（ただし$k$は実数）とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$k$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を成分で表せ．

(2)　点$\mathrm{S}$が$\mathrm{▵ABC}$の内部または周にあるような$k$の値の範囲を求めよ．

【４】　$p\text{，}$$q$を定数とし，$0<p<1$とする．

曲線$C_1\text{：}y=p{x}^{\frac{1}{p}}$$\text{（}x>0\text{）}$と，

曲線$C_2\text{：}y=\log x+q$$\text{（}x>0\text{）}$

が，ある$1$点$(a,b)$において同じ直線に接するとする．曲線$C_1\text{，}$直線$x=a\text{，}$直線$x=e^{-q}$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とする．また，曲線$C_2\text{，}$直線$x=a$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．

(1)　$q$を$p$を用いて表せ．

(2)　$S_1\text{，}$$S_2$を$p$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}\geqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$であることを示せ．ただし，$2.5<e<3$を用いてよい．

【５】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面において，点$\mathrm{A}$$(-1,0)$と点$\mathrm{B}$$(2,0)$をとる．円$x^2+y^2=1$の，$x\geqq 0$かつ$y\geqq 0$を満たす部分を$C$とし，また点$\mathrm{B}$を通り$y$軸に平行な直線を$l$とする．$2$以上の整数$n$に対し，曲線$C$上に点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を

$\mathrm{\angle POB}={\displaystyle \frac{\pi }{n}}\text{，}$$\mathrm{\angle QOB}={\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$

を満たすようにとる．直線$\mathrm{AP}$と直線$l$の交点を$\mathrm{V}$とし，直線$\mathrm{AQ}$と直線$l$の交点を$\mathrm{W}$とする．線分$\mathrm{AP}\text{，}$線分$\mathrm{AQ}$および曲線$C$で囲まれた図形の面積を$S(n)$とする．また線分$\mathrm{PV}\text{，}$線分$\mathrm{QW}\text{，}$曲線$C$および線分$\mathrm{VW}$で囲まれた図形の面積を$T(n)$とする．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n\{S(n)+T(n)\}$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T(n)}{S(n)}}$を求めよ．

【６】　$i$は虚数単位とする．複素数平面において，複素数$z$の表す点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(z)$または点$z$と書く．$\omega =-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$とおき，$3$点$\mathrm{A}(1)\text{，}$$\mathrm{B}(\omega )\text{，}$$\mathrm{C}({\omega }^2)$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$を考える．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$は正三角形であることを示せ．

(2)　点$z$が辺$\mathrm{AC}$上を動くとき，点$-z$が描く図形を複素数平面上に図示せよ．

(3)　点$z$が辺$\mathrm{AB}$上を動くとき，点$z^2$が描く図形を$E_1$とする．また，点$z$が辺$\mathrm{AC}$上を動くとき，点$z^2$が描く図形を$E_2$とする．$E_1$と$E_2$の共有点をすべて求めよ．

問題選択一覧

数学I・II・A・B　【１】，【２】，【３】から２題選択

数学I・II・III・A・B　【１】，【２】，【３】から２題選択，【４】，【５】，【６】から２題選択

　総合選抜文系，社会学類　数学I・II・A・Bを解答

　国際総合学類，障害科学類　数学I・II・A・Bまたは数学I・II・III・A・Bを選択して解答

　それ以外の学類　数学I・II・III・A・Bを解答