2021　筑波大学　推薦理工学群工学システム学類MathJax

【１】　

問１　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(t)={\displaystyle {\int }_0^t}{(3x+2t\sqrt{1-x})}^2\mathit{dx}$が最小となるときの$t$の値を求めよ．

【１】　

問１　次の問いに答えよ．

(2)　関数$f(x)=-3{\cos }^{2}x-3\sin x\cos 2x-\sin x+4$が$\sin x$の関数として表されることを利用して$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【１】

問２　次の等式を満たす関数$f(x)$について考える．

$f(x)=g(x)+e^x{\displaystyle {\int }_0^x}{f}^{\prime }(t)e^{-t}\mathit{dt}$

以下の問いに答えよ．ただし，$g(x)=\cos x^2$とする．

(1)　$f(0)$を求めよ．

(2)　$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)e^{-t}\mathit{dt}$を$g(x)$を用いて表せ．

(4)　$f(x)$を求めよ．

【２】

問１　$xyz$空間に点$(1,0,1)$を中心とする半径$1$の球がある．点$\mathrm{A}$$(0,0,3)$および球面上の点$\mathrm{P}$を通る直線を$l$とする．直線$l$と$xy$平面との交点を点$\mathrm{B}$$(a,b,0)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{AB}$の長さの比を$\mathrm{AP}:\mathrm{AB}=t:1$$\text{（}0<t\leqq 1\text{）}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を，$a\text{，}$$b\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が球面上を動くとき，点$\mathrm{B}$の動く範囲を求め，図示せよ．

【２】

問２　$n$を$1$以上の整数として，$f(x)=x^2+(n+1)n^2\text{，}$$g(x)=(n+1){(x-n)}^2$とする．連立不等式，$y\leqq f(x)\text{，}$$y\geqq g(x)$が表す$xy$平面上の領域を$\mathrm{A}$とする．

　以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の$x$座標を$M\text{，}$$N$とする．$M$と$N$を求めよ．ただし，$M<N$とする．

(2)　$\mathrm{A}$に含まれる格子点（$x$座標，$y$座標がともに整数である点）の個数$S$を求めよ．