2021　筑波大学　推薦医学群医学類MathJax

【１】　$xy$座標平面上の点$\mathrm{P}$を$1$回の試行で，次の規則で移動させる．

(規則)

確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$x$軸の正の方向に$1$だけ進む

確率${\displaystyle \frac{1}{6}}$で$y$軸の正の方向に$1$だけ進む

率率${\displaystyle \frac{1}{6}}$で$x$軸の負の方向に$1$だけ進む

確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$y$軸の負の方向に$1$だけ進む．

　最初に点$\mathrm{P}$は点$(1,0)$にあるとする．以下の問に答えなさい．

問１　$2$回の試行後に点$\mathrm{P}$が点$(1,0)$にある確率を求めなさい．

問２　$3$回の試行後に点$\mathrm{P}$の$y$座標が負になる確率を求めなさい．

問３　$4$回の試行後に点$\mathrm{P}$の$x$座標が$0$以上，かつ，$y$座標が負になる確率を求めなさい．

【２】　以下の問に答えなさい．

問１　複素数$w$に対して$|w-1|=1$であり，かつ$w^2+{\displaystyle \frac{1}{w^2}}$が実数となる値をすべて求めなさい．ただし，$w\ne 0$とする．

【２】　以下の問に答えなさい．

問２　複素数$a$および$b$は$|a-3|=3\text{，}$$|b-4i|=1$を満たす．$z=a+b$とおくとき，点$z$が動く領域$S$の面積を求めなさい．

【３】　以下の問に答えなさい．

問１　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を互いに異なる自然数とするとき，$x^3+y^3+z^3-3xyz$は素数ではないことを示しなさい．

【３】　以下の問に答えなさい．

問２　$a$を実数，$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$とする．このとき，$x$に関する方程式

$x^3+3a{x}^2-2a^3+a^2+a^4=0$

の解を，$\omega$と$a$を用いて求めなさい．ただし，

$x^3+y^3+z^3-3xyz$$=(x+y+z)(x+\omega y+{\omega }^{2}z)(x+{\omega }^{2}y+\omega z)$

と分解できることを用いてもよい．