2021　宇都宮大学　共同教育学部数学分野推薦小論文MathJax

【１】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(t^2+t-2)\mathit{dt}$について，次の問いに答えよ．

問１　$f(1)\text{，}$$f(-2)$を求めよ．

問２　関数$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．また，そのグラフの概形をかけ．

問３　方程式$f(x)-a=0$の異なる実数解の個数は，定数$a$の値によってどのように変わるか調べよ．

間４　方程式$f(x)-a=0$の異なる実数解が$2$個であるとき，その解を求めよ．

【２】　座標空間内の四面体$\mathrm{OABC}$は，点$\mathrm{O}$の座標が$(0,0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}$の座標が$(3,0,1)\text{，}$点$\mathrm{B}$の座標が$(1,2,1)$で，辺$\mathrm{OC}$の長さが$5\sqrt{2}$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$に対し，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$の値が$7\text{，}$内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$の値が$5$であるとき，次の問いに答えよ．

問１　辺$\mathrm{OA}$の長さ，辺$\mathrm{OB}$の長さ，および，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を調べよ．

問２　三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を調べよ．

間３　辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{\mathrm{CM}}\text{，}$および，$\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{\mathrm{CM}}$を示せ．

問４　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を調べよ．

【３】　次の$n$個の数列について考えるとき，以下の問いに答えよ．

$\begin{array}{cc}\text{第}1\text{数列：}& 2\\ \text{第}2\text{数列：}& 4,& 8\\ \text{第}3\text{数列：}& 8,& 16,& 24,\\ \text{第}4\text{数列：}& 16,& 32,& 48,& 64\\ ⋮\\ \text{第}n\text{数列：}& 2^n,& 2\cdot 2^n,& 3\cdot 2^n,& 4\cdot 2^n,& \cdots ,& n\cdot 2^n\end{array}$

ここで，$k$を$n$以下の自然数とするとき，第$k$数列は，初項が$2^k\text{，}$公差が$2^k\text{，}$頃数が$k$の等差数列である．

問１　$k$を$n$以下の自然数とする．第$k$数列に現れる$k$個の項の総和を調べ，$k$の式で表せ．

問２　各数列の初項として現れる$n$個の項の総和を調べ，$n$の式で表せ．

問３　各数列の末項として現れる$n$価の項の総和を調べ，$n$の式で表せ．

問４　$m$を$n$以下の自然数とする．各数列の第$m$項として現れる$n-m+1$個の項の総和を調べ，$m$と$n$の式で表せ．

問５　第$1$数列から第$n$数列に現れる全ての項の総和を求めることにより，次の等式が成り立つことを説明せよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(k+1)\cdot 2^{k-1}$$=(n^2-n+2)\cdot 2^n-2$

【４】　次の問いに答えよ．

問１　下の図のように，棒が正方形状に並んでいるとする．

このとき，正方形を$n$個つくるのに必要な棒の本数を求めたい．その求め方を，文字$n$を用いて$2$通りの式で表し，説明せよ．

問２　文字を用いた式のよさを$400$字以内で述べよ．