2021　群馬大学　推薦共同教育学部小論文MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$を$3$次関数とする．このとき曲線$y=f(x)$は必ず変曲点を$1$つもつことを説明せよ．

(2)　曲線$y=x^4+2a{x}^3+3b{x}^2+x-1$が変曲点をもたないとする．このとき実数$a$と$b$の満たす条件を求めよ．また$a$と$b$の満たす条件の表す領域を座標平面上に図示せよ．

(編注)　解答欄に横軸$a\text{，}$縦軸$b$の座標平面が描かれている．

【２】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$が，時刻$t$の関数として$x=(1+t^2)\cos t\text{，}$$y=(1+t^2)\sin t$$\text{（}t>0\text{）}$と表されている．点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{p}=(x,y)$とし，時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度を$\overrightarrow{v}＝({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}},{\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}})$とする．また$2$つのベクトル$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とする．さらに$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}=(\cos t,\sin t)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(-\sin t,\cos t)$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{v}=c\overrightarrow{a}+d\overrightarrow{b}$であるとき$c\text{，}$$d$を$t$を用いて表せ．

(2)　$\cos \theta$を$c\text{，}$$d$を用いて表せ．

(3)　$\tan \theta$を$t$を用いて表し，$\theta$の最小値を求めよ．

【３】　命題「すべての$0$でない実数$a$について$a^2>0$」は真である．複素数においても同様なことが成立するだろうか．次の命題(1)と命題(2)について，それぞれの命題が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．

(1)　「すべての$0$でない複素数$\alpha$について${\alpha }^2$の実部は正である」

(2)　「すべての$0$でない複素数$\alpha$について$\alpha \text{，}$${\alpha }^2\text{，}$${\alpha }^3\text{，}$${\alpha }^4$の中の少なくとも$1$つの実部は正である」