2021　埼玉大学　前期（経済，教育学部）MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は初項$a_1=4\text{，}$公差$d$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は初項$b_1=2\text{，}$公比$r$の等比数列であるとする．数列$\{c_n\}$は$c_1=2\text{，}$$c_2=2\text{，}$$c_3=-6\text{，}$$c_4=\mathrm{-}38$という条件と$c_n=a_n-b_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$という条件の両方によって与えられるとする．

(1)　数列$\{c_n\}$の一般項を求めなさい．

(2)　数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を求めなさい．

(3)　数列$\{d_n\}$が$d_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(4n-c_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$という条件によって与えられ，数列$\{e_n\}$が$e_n={\displaystyle \frac{1}{27}}(2n^2+2n+1-S_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$という条件によって与えられるとする．自然数$l\text{，}$$m$についての連立方程式

$\{\begin{array}{l}3{\log }_3{d}_l+2{\log }_3{e}_m=5\\ 2{\log }_3{d}_l-{\log }_3{e}_m=8\end{array}$

を満足する，$l\text{，}$$m$を求めなさい．

【２】　空間に$4$個の点$\mathrm{A}$$(0,1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,3)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,3,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,1,2)$をとる．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線を$l$とし，点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$を通る直線を$m$とする．

(1)　直線$l$と直線$m$は交わらないことを証明しなさい．

(2)　直線$l$と直線$m$のどちらについても直交する直線を$n$とし，直線$l$と直線$n$の交点を$\mathrm{P}$とし，直線$m$と直線$n$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求め，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．

【３】　$4$個のさいころ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$は，どれについても投げたときにどの目が出ることも同様に確からしいさいころであるとする．さいころ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を$1$回ずつ投げたときに出た目の数をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$とする．座標平面において，座標が$(a,b)$である点を$\mathrm{P}$とし，座標が$(c,d)$である点を$\mathrm{Q}$とし，座標が$(1,1)$である点を$\mathrm{R}$とし，座標が$(4,4)$である点を$\mathrm{S}$とする．

(1)　不等式$-a+8\leqq b\leqq a-1$が成り立つということと不等式$c<d$が成り立つということの両方が起こったときに，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{S}$がひとつの直線上にあるということが起こる条件付き確率を求めなさい．

(2)　不等式$-a+8\leqq b\leqq a-1$が成り立つということと不等式$c<d$が成り立つということの両方が起こったときに，点$\mathrm{S}$が三角形$\mathrm{PQR}$の辺を除いた内部にあるということが起こる条件付き確率を求めなさい．

【４】　$2$次関数$y=x^2$の表す放物線を$C$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{A}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,9)$をとる．また，$t$は実数であり，$1<t<3$という条件を満たすとして，放物線$C$上に点$\mathrm{T}$$(t,t^2)$をとる．まず，$x$軸，直線$x=1\text{，}$直線$x=t\text{，}$線分$\mathrm{AT}$によって囲まれた台形の面積を$R$とし，$x$軸，直線$x=t\text{，}$直線$y=3\text{，}$線分$\mathrm{TB}$によって囲まれた台形の面積を$S$とする．つぎに，$x$軸，直線$x=1\text{，}$直線$x=t\text{，}$放物線$C$の点$\mathrm{A}$における接線によって囲まれた台形の面積を$U$とし，$x$軸，直線$x=t\text{，}$直線$x=3\text{，}$放物線$C$の点$\mathrm{T}$における接線によって囲まれた台形の面積を$V$とする．さらに，$x$軸，直線$x=1\text{，}$直線$x=3\text{，}$放物線$C$によって囲まれた図形の面積を$W$とする．

(1)　$1<t<3$という条件のもとで，$R+S$の最小値を求めなさい．

(2)　$1<t<3$という条件のもとで，$U+V$の最大値を求めなさい．

(3)　不等式$R+S+U+V<2W$が成り立つことを証明しなさい．