2021　埼玉大学　後期（理，工学部）MathJax

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+3$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．また，数列$\{b_n\}$は

$b_1=2\text{，}$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{4b_n-2}{3b_n-1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_n\geqq 1\text{，}$$b_n>1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を示せ．

(2)　$a_n{b}_n=a_n+1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(1)　${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{2n}$から異なる$3$点を選ぶとき，それらを頂点とする三角形が直角三角形となる場合の数を求めよ．

(2)　${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{2n}$から${\mathrm{A}}_i$を選ぶとき，$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_i{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$が鈍角となる場合の数を求めよ．

(3)　${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{2n}$から異なる$2$点${\mathrm{A}}_i\text{，}$${\mathrm{A}}_j$を選ぶとき，$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_i{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_j$が鈍角となる場合の数を求めよ．

(4)　${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{2n}$から異なる$3$点を選ぶとき，それらを頂点とする三角形が鋭角三角形となる確率$p_n$を求めよ．また，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．

(a)　線分$\mathrm{OC}$と線分$\mathrm{DE}$は垂直である．

(b)　点$\mathrm{F}$は線分$\mathrm{OC}$の中点である．

次の問いに答えよ．

(1)　(a)が成り立つとき，$t$を$s$と$u$を用いて表せ．

(2)　(b)が成り立つとき，$t$を$s$と$u$を用いて表せ．

(3)　(a)と(b)が同時に成り立つとき，$t$と$u$を$s$を用いて表せ．

(4)　(a)と(b)が同時に成り立つとき，$\mathrm{▵ODE}$の面積を$s$を用いて表せ．

(1)　$f(x)=x\sqrt{x^2+1}+\log (x+\sqrt{x^2+1})$とする．

$f^{\prime }(x)=2\sqrt{x^2+1}$

を示せ．

(2)　$xy$平面において連立不等式

$\{\begin{array}{l}0\leqq y^2-x^2\leqq 1\\ 0\leqq xy\leqq \sqrt{2}\end{array}$

の表す領域を$D$とする．

(ア)　曲線$y^2-x^2=1$と曲線$xy=\sqrt{2}$の共有点の座標をすべて求めよ．

(イ)　領域$D$を$xy$平面に図示せよ．

(ウ)　$D$の面積を求めよ．