2021　千葉大学　前期MathJax

【１】　定数$a$は${\displaystyle \frac{1}{6}}<a<{\displaystyle \frac{1}{4}}$を満たすとする．座標平面上の長方形$\mathrm{ABCD}$は以下の$4$つの条件を満たす．

・$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は放物線$y=-x^2+2a$上にある．

・$2$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$は放物線$y=2x^2-a$上にある．

・$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}$の$x$座標は等しく，かつ正である．

•点$\mathrm{A}$の$y$座標は点$\mathrm{D}$の$y$座標より大きい．

点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$とする．長方形$\mathrm{ABCD}$の周および内部を，原点を中心に$1$回転させてできる図形の面積を$S$とする．

(1)　$S$を$t$の式で表せ．

(2)　$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【２】　平面上に半径がそれぞれ$a^2\text{，}$$b^2\text{，}$$c^2$$\text{（}0<a<b<c\text{）}$の$3$つの円$A\text{，}$$B\text{，}$$C$および直線$l$がある．$3$つの円はどれも直線$l$に接していて，どの$2$つの円も外接しているとする．

(1)　$c$を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　数列$a\text{，}b\text{，}c$が等比数列となるとき，その公比を求めよ．

【３】　袋に白球と黒球が$5$個ずつ入っている．以下のゲームを$n$回続けて行う．

　袋から$1$個の球を取り出す．それが白球ならば$1$点獲得する．黒球ならばさいころを投げ，出た目が$3$の倍数ならば$1$点獲得し，そうでなければ得点しない．袋から取り出した球は戻さない．

(1)　$n=2$の場合，総得点が$2$点となる確率を求めよ．

(2)　$n=3$の場合，総得点が$2$点以上となる確率を求めよ．

【４】　$m$を正の整数とする．座標平面上の点$(x,y)$で

$x{n}^3+y{n}^2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

がすべて整数であるようなものは，連立不等式

$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x+y\leqq m$

の表す領域に何個あるか答えよ．

【５】　袋に白球と黒球が$5$個ずつ入っている．以下のゲームを$n$回続けて行う．

　袋から$1$個の球を取り出す．それが白球ならば$1$点獲得する．黒球ならばさいころを投げ，出た目が$3$の倍数ならば$1$点獲得し，そうでなければ得点しない．袋から取り出した球は戻さない．

(1)　$n=2$の場合，総得点が$2$点となる確率を求めよ．

(2)　$n=4$の場合，総得点が$2$点以上となる確率を求めよ．

(3)　$n=10$の場合，総得点が$8$点以上となる確率を求めよ．

【６】　座標平面上に曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}$および$3$点$\mathrm{A}$$(-1,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(1,0)$がある．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$に対して，直線$\mathrm{AP}$と直線$y=-2$の交点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$と等しいとき，直線$\mathrm{AP}$とは$\mathrm{A}$における$C$の接線のこととする．また，直線$\mathrm{BQ}$に点$\mathrm{D}$から下ろした垂線と直線$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{PR}$が原点を通るような実数$t$の個数を求めよ．

【７】　以下の問いに答えよ．

(1)　$w=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$とする．ただし，$i$は虚数単位である．

　$z$を$0$でない複素数とするとき，次の等式を証明せよ．

(2)　ある定数$C$に対して，等式

がすべての実数$\theta$で成り立つことを示せ．また，$C$の値を求めよ．

(3)　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{10}}\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{10}}$の値を求めよ．

【８】　$2$曲線$C_1\text{：}y=e^{ax}\text{，}$$C_2\text{：}y=a\log x+b$は，$x$座標が$t$$\text{（}0<t<1\text{）}$の点で接していて，$a\ne 0$であるとする．ただし，$2$曲線が点$\mathrm{P}$で接するとは，$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$における接線が一致することである．

(1)　$a$および$b$を$t$の式で表せ．

(2)　曲線$C_1$と$x$軸，$y$軸および直線$x=t$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とする．極限値$\underset{t\to 1-0}{\lim }{S}_1(t)$を求めよ．

(3)　曲線$C_2$と$x$軸および直線$x=t$で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．極限値$\underset{t\to 1-0}{\lim }{S}_2(t)$を求めよ．

【９】　多項式$f_n(x)\text{，}$$g_n(x)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を条件

$f_1(x)=x\text{，}$$g_1(x)=1\text{，}$

$f_{n+1}(x)=f_n(x)+x{g}_n(x)\text{，}$$g_{n+1}(x)=g_n(x)-x{f}_n(x)$

で定める．

(1)　正の整数$n$に対して，等式

${\{f_{n+1}(x)\}}^{\prime }=(n+1\}{g}_n(x)\text{，}$${\{g_{n+1}(x)\}}^{\prime }=-(n+1)f_n(x)$

が成り立つことを示し，多項式$f_n(x)$の次数を求めよ．

(2)　正の整数$n$に対して，区間$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において等式

$\sin n\theta =f_n(\tan \theta ){\cos }^n\theta \text{，}$$\cos n\theta =g_n(\tan \theta ){\cos }^n\theta$

が成り立つことを示せ．

(3)　正の整数$n$と実数$a$に対して，方程式$f_n(x)=a{g}_n(x)$の異なる実数解の個数を求めよ．

志望別問題選択一覧

数学I数学II数学A数学B

　国際教養学部，文学部(行動科学コース)，法政経学部，教育学部（小学，中学国語社会理科技術，小中専門教科，英語，特別支援，乳幼児），園芸学部(食料資源経済学科)，先進科学プログラム(化学，生物学，植物生命科学，人間科学)

　　【１】，【２】，【３】

数学I数学II数学III数学A数学B

教育学部（中学数学）

　【１】，【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

理学部(物理，化学，生物，地球科学科)，工学部，園芸学部(園芸，応用生命化，緑地環境学科)，薬学部，先進科学プログラム(物理，工学)

　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

理学部（数学・情報数理学科）

【４】，【５】， 【６】，【７】，【８】，【９】

医学部

【５】，【６】，【７】，【８】，【９】