2021　千葉大学　先進科学プログラム方式IMathJax

【１】　以下の方程式に関する問いに答えよ．

(1)　$a$と$b$が実数のとき，$3$次方程式$2x^3+a{x}^2+bx-3=0$の解の$1$つが複素数${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{i}{2}}$であるとき，残りの$2$つの解を求めよ．

【１】　以下の方程式に関する問いに答えよ．

(2)　${\log }_{x}2-{\log }_x(x+2)=1$の解を求めよ．

【１】　以下の方程式に関する問いに答えよ．

(3)　$0\leqq x<2\pi$のとき，$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2$の解を求めよ．

【２】　ある病原菌を検出する検査方法についての確率を考える．この検査方法では，病原菌がいる検体に対して「病原菌がいる」と正しく判定する確率が$70\mathrm{\%}$で，病原菌がいない検体に対して「病原菌がいない」と正しく判定する確率は$90\mathrm{\%}$である．全体の$20\mathrm{\%}$に病原菌がいる多数の検体の中から$1$個取り出して検査するとき，以下の確率を求めよ．

(1)「病原菌がいる」と判定される確率

(2)「病原菌がいる」と判定結果が出たとき，その検体に本当に病原菌がいる確率

【３】　$y=x^2$の放物線を考える．

(1)　点$(1,-3)$から$2$本の接線を引いたとき，それぞれの接点の座標を求めよ．

(2)　上の$2$つの接点を結ぶ直線とこの放物線で囲まれた領域の面積を求めよ．

【４】　次の無限等比数列

$1,-{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{16}},-{\displaystyle \frac{1}{64}},\cdots$

が与えられているとき，

(1)　一般項$a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を求めよ．

(2)　無限級数$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$を求めよ．

【５】　以下の不定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }x\log (x^2-1)\mathit{dx}$

【５】　以下の不定積分を求めよ．

(2)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}\mathit{dx}$

【６】　空間内の$3$点，点$\mathrm{A}$$(-1,-2,-1)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(1,2,3)\text{，}$点$\mathrm{C}$$(1,1,1)$について考える．

(1)　$3$点を通る平面の方程式を求めよ．

(2)　この面の単位法線ベクトルを求めよ．