2021　東京農工大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}$$(1,1,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,1,-1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,-4,-2)\text{，}$$\mathrm{D}$$(-2,-1,1)$がある．次の問いに答えよ．

〔1〕　$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を実数とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DO}}$を$\overrightarrow{\mathrm{DO}}=s\overrightarrow{\mathrm{DA}}+t\overrightarrow{\mathrm{DB}}+u\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と表すとき，$s\text{，}$$t\text{，}$$u$の値を求めよ．

〔2〕　線分$\mathrm{AB}$上を動く点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{CD}$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろすとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．また，最小値をとるときの$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

〔3〕　直線$\mathrm{CD}$上を点$\mathrm{R}$が動くとき，$\cos \mathrm{\angle ABR}$の最大値を求めよ．また，最大値をとるときの$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

【２】　対数は自然対数とする．数列$\{a_n\}$を

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\log 2\\ a_{n+1}=a_n-3\log \{1-\cos {\displaystyle \frac{(2n+1)\pi }{3}}\}& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

により定める．次の問いに答えよ．

〔1〕　$a_6$の値を求めよ．

〔2〕　$n$は自然数とする．次の不等式を証明せよ．

$a_n\geqq (n-2)\log 2$

〔3〕　数列$\left\{{\displaystyle \frac{a_n}{n}}\right\}$の極限を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=\left|{\displaystyle \frac{x}{x+1}}\right|+4x$

とする．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$上の点$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-1)$における法線を$l$とする．次の問いに答えよ．

〔1〕　$a$は定数とする．方程式$f(x)=a$の異なる実数解の個数を求めよ．

〔2〕　直線$l$の方程式を求めよ．

［３］　$t$は$0<|t+{\displaystyle \frac{1}{2}}|<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす実数とする．曲線$C$上の点$(t,f(t))$における法線と直線$l$の交点の$y$座標を$p(t)$とする．

(1)　$p(t)$を$t$で表せ．

(2)　$\underset{t\to -{\displaystyle \frac{1}{2}}}{\lim }p(t)$を求めよ．

【４】　対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．$a$は$a>2$を満たす実数とする．$xy$平面上に$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=(e^x-1)(e^x-2a)$

$C_2\text{：}y=(1-a)e^x$

がある．次の問いに答えよ．

〔1〕　曲線$C_1$と曲線$C_2$は異なる$2$点で交わる．この$2$点の座標を$a$を用いて表せ．

〔2〕　曲線$C_1$と$x$軸，および直線$x=2\log 2$で囲まれ，かつ$x\geqq 2\log 2$である部分の面積を$S_1$とする．曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

$S_1-S_2={\displaystyle \frac{3}{2}}$

が成り立つとき，$a$の値を求めよ．