2021 お茶の水女子大学 前期MathJax

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2021 お茶の水女子大学 前期共通

文教育,生活科,理学部

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(1)  k2+2 が素数となるような素数 k をすべてみつけよ.また,それ以外にないことを示せ.

(2) 整数 l 5 で割り切れないとき, l4-1 5 で割り切れることを示せ.

(3)  m4+4 が素数となるような素数 m は存在しないことを示せ.

2021 お茶の水女子大学 前期共通

文教育,生活科,理学部

易□ 並□ 難□

【2】 共通の接線 l をもつ円 C1 C2 C3 の半径をそれぞれ r1 r2 r3 とする.これらの円のどの二つも互いに外接しており, C3 l C1 C2 に囲まれた領域に含まれているものとする.以下の問いに答えよ.

(1)  1r3 = 1r1 +1r 2 となることを示せ.

(2)  r3=1 のとき, r1+r 2 の取り得る値の最小値を求めよ.

2021 お茶の水女子大学 前期共通

文教育,生活科学部

易□ 並□ 難□

【3】 以下の問いに答えよ.

(1) すべての自然数 n に対して次の等式をみたす数列 {a n} の一般項を求めよ.

k =1na k=2a n+n

2021 お茶の水女子大学 前期共通

文教育,生活科学部

易□ 並□ 難□

【3】 以下の問いに答えよ.

(2) 関数 y=x3 +(k+ 1)x 2+kx のグラフを C1 関数 y=x 2+q のグラフを C2 とする.すべての実数 q に対して C1 C2 がただひとつの共有点をもつような実数 k の値の範囲を求めよ.

2021 お茶の水女子大学 前期共通

文教育,生活科学部

易□ 並□ 難□

【3】 以下の問いに答えよ.

(3)  x1 x2 xn が実数で y1 y2 yn が正の実数のとき,次の不等式が成り立つことを示せ.

x1 2y1 +x22 y2+ +x n2yn (x1+ x2+ +xn) 2y1 +y2+ +yn

2021 お茶の水女子大学 前期共通

理学部

易□ 並□ 難□

【3】  f(x )=x x2+1 とし,関数 y=f (x ) のグラフを C とする.以下の問いに答えよ.

(1)  C の接線のうち点 (1 ,12 ) を通るものをすべて求めよ.

(2)  C 上の点 (t ,f(t )) における接線と y 軸との交わりを (0 ,g(t )) とする. t の関数 g (t) は一点のみで最大値をとることを示せ.

(3) (2)の g (t) が最大となるときの C の接線を l とする.曲線 C y 軸,および接線 l で囲まれた領域の面積を求めよ.

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