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2021-10270-0101
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2021 お茶の水女子大学 前期共通
文教育,生活科,理学部
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) k2+2 が素数となるような素数 k をすべてみつけよ.また,それ以外にないことを示せ.
(2) 整数 l が 5 で割り切れないとき, l4-1 が 5 で割り切れることを示せ.
(3) m4+4 が素数となるような素数 m は存在しないことを示せ.
2021-10270-0102
文教育,生活科,理学部
【2】 共通の接線 l をもつ円 C1 , C2 , C3 の半径をそれぞれ r1 , r2 , r3 とする.これらの円のどの二つも互いに外接しており, C3 は l , C1 , C2 に囲まれた領域に含まれているものとする.以下の問いに答えよ.
(1) 1r3 = 1r1 +1r 2 となることを示せ.
(2) r3=1 のとき, r1+r 2 の取り得る値の最小値を求めよ.
2021-10270-0103
文教育,生活科学部
【3】 以下の問いに答えよ.
(1) すべての自然数 n に対して次の等式をみたす数列 {a n} の一般項を求めよ.
∑k =1na k=2⁢a n+n
2021-10270-0104
(2) 関数 y=x3 +(k+ 1)⁢x 2+k⁢x のグラフを C1 , 関数 y=x 2+q のグラフを C2 とする.すべての実数 q に対して C1 と C2 がただひとつの共有点をもつような実数 k の値の範囲を求めよ.
2021-10270-0105
(3) x1 , x2 , ⋯, xn が実数で y1 , y2 , ⋯, yn が正の実数のとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
x1 2y1 +x22 y2+ ⋯+x n2yn ≧ (x1+ x2+⋯ +xn) 2y1 +y2+ ⋯+yn
2021-10270-0106
理学部
【3】 f⁡(x )=x x2+1 とし,関数 y=f ⁡(x ) のグラフを C とする.以下の問いに答えよ.
(1) C の接線のうち点 (1 ,12 ) を通るものをすべて求めよ.
(2) C 上の点 (t ,f⁡(t )) における接線と y 軸との交わりを (0 ,g⁡(t )) とする. t の関数 g⁡ (t) は一点のみで最大値をとることを示せ.
(3) (2)の g⁡ (t) が最大となるときの C の接線を l とする.曲線 C , y 軸,および接線 l で囲まれた領域の面積を求めよ.