2021　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

2021-10270-0201

数学入試問題さんの解答(PDF)へ

2021　お茶の水女子大学　前期理学部選択

理（数学科）学部-数学専門Ⓐ

理（物理学科・情報学科）学部-数学Ⓑ

易□　並□　難□

【１】　 $a > b > 0$ として，座標平面上の楕円 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ を $C$ とおく． $C$ 上の点 $P$ $(p_{1}, p_{2})$ $（ p_{2} \neq 0 ）$ における $C$ の接線を $l ，$ 法線を $n$ とする．

(1)　接線 $l$ および法線 $n$ の方程式を求めよ．

(2)　 $2$ 点 $A$ $(\sqrt{a^{2} - b^{2}}, 0) ，$ $B$ $(- \sqrt{a^{2} - b^{2}}, 0)$ に対して，法線 $n$ は $∠APB$ の二等分線であることを示せ．

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易□　並□　難□

【２】　 $0 < θ < \frac{π}{2} ，$ $z_{0} = 1$ とする．複素数平面の原点を $O ，$ $z_{0}$ のあらわす点を $A_{0}$ とする．線分 $O A_{0}$ を直径とする円上の点 $A_{1} (z_{1})$ で $z_{1} \neq 0 ，$ $∠ A_{0} O A_{1} = θ$ であり $\frac{z_{1}}{z_{0}}$ の虚部が正であるものを考える．同様に $n = 1 ，$ $2 ，$ $\dots$ に対して，線分 $O A_{n}$ を直径とする円上の点 $A_{n + 1} (z_{n + 1})$ で $z_{n + 1} \neq 0 ，$ $∠ A_{n} O A_{n + 1} = \frac{θ}{2^{n}}$ であり $\frac{z_{n + 1}}{z_{n}}$ の虚部が正であるものを考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数 $n$ について次が成り立つことを示せ．

$| z_{n} | = \frac{\sin 2 θ}{2^{n} \sin (\frac{θ}{2^{n - 1}})}$

(2)　 $0 < x < θ$ のとき， $\frac{\sin θ}{θ} < \frac{\sin x}{x} < 1$ が成り立つことを示せ．

(3)　三角形 $A_{n} O A_{n + 1}$ の面積を $S_{n}$ とするとき，次が成り立つことを示せ．

$\frac{\sin^{2} 2 θ}{8 θ} < \sum_{n = 1}^{\infty} S_{n} < \frac{\sin^{2} 2 θ}{8 \sin θ}$

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易□　並□　難□

【３】　 $x > 1$ で定義された $x$ の $3$ つの関数

$I (x) = e^{- 2 x} \int_{1 - x}^{x - 1} e^{- t^{2}} dt ，$

$J (x) = e^{- 2 x} \int_{1}^{x} (1 + \frac{x}{t^{2}}) e^{- {(t - \frac{x}{t})}^{2}} dt ，$

$K (x) = 2 \int_{1}^{x} e^{- t^{2} - \frac{x^{2}}{t^{2}}} dt$

を考える． $x > 1$ に対して，以下が成り立つことを示せ．ただし， $e = 2.7182818 \dots$ であることは用いてよい．

(1)　 $I (x) = J (x)$

(2)　 $J (x) = K (x)$

(3)　 $K (x) < 3 e^{- 2 x}$