2021　電気通信大学　後期MathJax

$\sin n\theta =f_n(\cos \theta )\sin \theta \cdots \text{①}$$\cos n\theta =g_n(\cos \theta )\cdots \text{②}$

を満たす整式$f_n(x)\text{，}$$g_n(x)$について考える．ただし，$f_n(\cos \theta )\text{，}$$g_n(\cos \theta )$はそれぞれ$f_n(x)\text{，}$$g_n(x)$に$x=\cos \theta$を代入して得られる式を表す．

　各$n$について，$\text{①}$を満たす整式$f_n(x)\text{，}$$\text{②}$を満たす整式$g_n(x)$はそれぞれただ$1$つに定まる．（本問ではこのことを証明せずに用いてよい．）例えば，$n=1$なら$f_1(x)=1\text{，}$$g_1(x)=x$である．$n=2$なら$\sin 2\theta =2\cos \theta \sin \theta$より$f_2(x)=2x\text{，}$$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$より$g_2(x)=2x^2-1$である．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　整式$f_3(x)$を求めよ．

(ⅱ)　整式$g_n(x)$を，整式$f_n(x)$とその導関数${f_n}^{\prime }(x)$を用いて表せ．

(ⅲ)　数学的帰納法を用いて，すべての自然数$n$に対して整式$f_n(x)$は$n-1$次式であることを示せ，さらに，$f_n(x)$の$n-1$次の係数を求めよ．

(ⅳ)　$n\geqq 2$のとき，$x=\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{n}}$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-1\text{）}$が$n-1$次方程式$f_n(x)=0$の解であることを示せ．

(ⅴ)　$n\geqq 3$のとき，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-2$に対して，定積分${\displaystyle {\int }_{\cos \frac{(k+1)\pi }{n}}^{\cos \frac{k\pi }{n}}}{f}_n(x)\mathit{dx}$を求めよ．

$f(x)=\log {\displaystyle \frac{ax}{1-x}}$

を考える．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．このとき，以下の問いに答えよ，

(ⅰ)　方程式$f(x)=0$を解け．また，$y=f(x)$を$x$について解き，$x$を$y$の式で表せ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$({\displaystyle \frac{1}{2}},f({\displaystyle \frac{1}{2}}\left)\right)$における接線の方程式を求めよ．

(ⅲ)　原点$\mathrm{O}$と$C$上の点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{OP}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{P}$が$C$上のすべての点を動くとき，$\mathrm{M}$の描く曲線$C^{\prime }$の方程式を$y=g(x)$の形で求めよ．

(ⅳ)　$C$と$C^{\prime }$がただ$1$つの共有点をもつとき，$a$の値と共有点の座標を求めよ．

(ⅴ)　$\alpha \text{，}$$\beta$を正の定数とするとき，不定積分

$I_{\alpha ,\beta }={\displaystyle \int }{\left({\displaystyle \frac{e^{\beta y}}{\alpha +e^{\beta y}}}\right)}^2\mathit{dy}$

に対し，$\alpha +e^{\beta y}=t$とおいて慢換積分法を適用し，$I_{\alpha ,\beta }$を$y$の関数として表せ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(ⅳ)　$C$と$C^{\prime }$がただ$1$つの共有点をもつとき，$C\text{，}$$C^{\prime }$および$x$軸で囲まれた部分を$y$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積は，有理数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて

$(p\log 2+q\log 3+r)\pi$

と表される．$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を求めよ．

$C\text{：}{(x-1)}^2+{\displaystyle \frac{y^2}{2}}=1$

について，以下の問いに答えよ，

(ⅰ)　楕円$C$と円$x^2+y^2=4$の共有点の座標を求めよ．

(ⅱ)　楕円$C$上の点$\mathrm{P}$$(a,b)$における接線$l$の方程式を求めよ．なお，必要なら次のことを用いてよい．$\alpha \text{，}$$\beta$が正の定数のとき，楕円${\displaystyle \frac{x^2}{{\alpha }^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{{\beta }^2}}=1$上の点$(x_1,y_1)$における接線の方程式は，${\displaystyle \frac{x_{1}x}{{\alpha }^2}}+{\displaystyle \frac{y_{1}y}{{\beta }^2}}=1$で与えられる．

(ⅲ)　点$\mathrm{Q}$$(s,t)$は原点$\mathrm{O}$と異なる点とする．$C$上の点$\mathrm{P}$$(a,b)$における接線$l$が直線$\mathrm{OQ}$と直交するとき，$a\text{，}$$b$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(ⅳ)　(ⅲ)において点$\mathrm{Q}$$(s,t)$が$C$上にあるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積$h=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．

(ⅴ)　関数$f(x)=x-\sqrt{8x-3x^2}$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅵ)　$2$点$\mathrm{P}$$(a,b)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(s,t)$が$C$上を自由に動くとき，$h=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の最大値と最小値を求めよ．

$\overrightarrow{a_1}=(7,0,0)\text{，}$$\overrightarrow{a_2}=(0,7,0)\text{，}$$\overrightarrow{a_3}=(3,0,4)\text{，}$$\overrightarrow{a_4}=(1,2,4)$

を考える．このとき，原点を$\mathrm{O}$として，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a_i}+\overrightarrow{a_j}+\overrightarrow{a_k}+\overrightarrow{a_l}$$\text{（}1\leqq i\leqq j\leqq k\leqq l\leqq 4\text{）}$

と表される点$\mathrm{P}$全体の集合を$S$とする．例えば，

$(15,9,4)=\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_4}$

と表されるので，点$(15,9,4)$は$S$に属している．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$S$に属する点のうち，$x$座標が$5$となる点の座標を求めよ．

(ⅱ)　$S$に属する点のうち，$z$座標が$8$となる点の個数を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)の点のうち，$y$座標が最大となる点の座標を求めよ．

(ⅳ)　$m$を正の定数とする．$s\text{，}$$t$が$s\geqq 0\text{，}$$t\geqq 0\text{，}$$s+t=m$を満たすとき，$s^2+t^2$の最小値と最大値を求めよ．

(ⅴ)　点$(p,q,r)$が$S$に属するとき，$p^2+q^2$の最小値$d$を求めよ．また，最小値$d$をとる点の座標を求めよ．

(ⅵ)　点$(p,q,r)$が$S$に属するとき，$(p^2+q^2)r$の最大値$D$を求めよ．また，最大値$D$をとる点の座標を求めよ．