2021　一橋大学　後期MathJax

【１】　方程式

$(\sin x+1)(\cos x+1)=k$

の解が$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲にちょうど$2$つあるような実数$k$を求めよ．

【２】　$a>0$に対して，放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x$上の点$\mathrm{A}$$(a,{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2-a)$における接線を，$\mathrm{A}$を中心に時計回りに$45\mathrm{°}$回転した直線を$l$とする．$C$と$l$で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ．

【３】　${\displaystyle \frac{a+b}{2}}<\sqrt{ab}+{\displaystyle \frac{k}{\sqrt{ab}}}$かつ$a>b>0$を満たす整数$a\text{，}$$b$が存在するような実数$k$の範囲を求めよ．

【４】　箱の中に$1$から$10$までの番号が書かれた$10$枚のカードが入っている．箱から$1$枚のカードを取り出し，書かれた数の約数の個数を記録する．取り出したカードは箱に戻す．以上の操作をくり返し，記録された数の和が$3$の倍数になったら終了する．$n$回目で終了する確率$p_n$を求めよ．

【５Ⅰ】　$x\text{，}$$y$は実数とする．$y>x^n$を満たす正の整数$n$が存在する点$(x,y)$全体の集合を，$xy$平面上に図示せよ．

【５Ⅱ】　$f(x)$は微分可能かつ導関数が連続な関数とする．$f(0)=0$であるとき

${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}({\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}f(x-t)\mathit{dt})={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}{f}^{\prime }(x-t)\mathit{dt}$

を示せ．