2021　東京海洋大学　前期海洋生命科，海洋資源環境学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$y=x^3-x$のグラフをかけ．

(2)　$a\text{，}$$b$を実数の定数とする．$y=x^3-x$と$y=ax+b$のグラフが相異なる$3$点で交わるために$a\text{，}$$b$が満たすべき条件を求めよ．

(3)　$y=x^3-x$と$y=ax+b$のグラフが相異なる$3$点で交わり，かつ$3$つの交点の$x$座標の値の$1$つが正，他の$2$つの値が負になるために$a\text{，}$$b$が満たすべき条件を求めよ．

【２】　$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=|x^2+2x|$と直線$l\text{：}y=k(x+2)$が相異なる$3$点を共有する．ただし，$k$は実数の定数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$3$つの共有点の$x$座標を求めよ．必要ならば$k$を用いてよい．

(3)　曲線$C$と直線$l$で囲まれる$2$つの部分の面積の和の最小値と，そのときの$k$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$を満たす$\mathrm{▵ABC}$の頂点$\mathrm{A}$における外角の二等分線と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．さらに，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$をとり，直線$\mathrm{DE}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{AC}$に平行な直線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{G}$とするとき，$\mathrm{GA}=\mathrm{GD}$となることを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}}$を示せ．

(3)　$\mathrm{AC}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}}=t$とするとき，$\mathrm{AF}$を$b\text{，}$$c\text{，}$$t$を用いて表せ．

【４】　さいころを$6$回投げ，出た目を順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3$とする．これらの数字を用いて$X={\displaystyle \frac{100b_1+10b_2+b_3}{100a_1+10a_2+a_3}}$と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$X=1$となる確率を求めよ．

(2)　$X=2$となる確率を求めよ．

(3)　$X>1$となる確率を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　自然数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が等式$a^2+b^2=c^2$を満たすとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の少なくとも$1$つは$5$の倍数であることを示せ．

(2)　$p$が$5$以上の素数であるとき，$p^2-1$は$6$の倍数であることを示せ．

(3)　$p$が$5$以上の素数であるとき，$p^2-1$は$24$の倍数であることを示せ．