2021　東京海洋大学　前期海洋工学部MathJax

【１】　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，関数$y=\sqrt{2}(\sin \theta +\cos \theta )-2\sin \theta \cos \theta +5$を考える．また，$t=\sin \theta +\cos \theta$とおく．

(1)　$t$の値の範囲を求めよ．

(2)　$y$を$t$を用いて表せ．

(3)　$y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【２】　座標空間内の$2$点$\mathrm{A}$$(2,-1,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,-1,3)$に対して，$\mathrm{A}$を通りベクトル$(1,-1,0)$に平行な直線を$l_1\text{，}$$\mathrm{B}$を通りベクトル$(0,1,-1)$に平行な直線を$l_2$とする．また，$l_1$上の点$C$と$l_2$上の点$\mathrm{D}$に対して，直線$\mathrm{CD}$は$l_1$および$l_2$と直交しているとする．さらに，$D$を通り$l_1$に平行な直線を$l_3$とするとき，$l_3$上の点$\mathrm{H}$に対して，直線$\mathrm{BH}$は$l_3$と直交しているとする．

(1)　$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{H}$の座標を求めよ．また，内積$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}$を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【３】　$a>1$を満たす定数$a$に対して，連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq a{x}^2\\ y\leqq x^2+1\end{array}$

の表す領域を$D$とする．また，$k=-5x+y$とおく．

(1)　点$(x,y)$が不等式$y\geqq a{x}^2$の表す領域上を動くとき，$k$の最小値とそのときの$(x,y)$を$a$を用いて表せ．

(2)　$D$を図示せよ．

(3)　点$(x,y)$が$D$上を動くとき，$a$の値により場合分けして，$k$の最大値と最小値，およびそのときの$(x,y)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

【４-Ⅰ】　$k$を正の実数として，$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=x^2-k$

$C_2\text{：}x=y^2-k$

の共有点を調べる．$C_1\text{，}$$C_2$の方程式から$y$を消去することにより，方程式$f(x)=0\text{，}$ただし

$f(x)=x^4-2k{x}^2–x+k^2-k$

を得る．また，$g(x)=f^{\prime }(x)$とおく．

(1)　$k$の値により場合分けして，$g(x)=0$の異なる実数解の個数を調べよ，

(2)　$g(x)=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　(2)のとき，$C_1$と$C_2$の共有点は$2$個のみであることを示し，それらの座標を求めよ．

(4)　(3)で求めた$2$個の共有点を通る直線と$C_1$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【４-Ⅱ】　関数

$f(x)=-2\sin x\cos x+2\cos x$

を考える．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき，$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|f(x)|\mathit{dx}$を求めよ．