2021　新潟大学　前期MathJax

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$を$5:2$に外分する点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{G}$は点$\mathrm{E}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に平行な直線上にある．点$\mathrm{H}$は点$\mathrm{F}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に平行な直線上にある．$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$が一直線上にあるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【２】　平面上に正五角形$\mathrm{ABCDE}$があり，頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$は時計回りに配置されている．点$\mathrm{P}$をまず頂点$\mathrm{A}$の位置に置き，この正五角形の辺にそって時計回りに頂点から頂点へ与えられた正の整数$n$だけ動かす．たとえば，$n=2$ならば点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{C}$の位置にあり，$n=6$ならば点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{B}$の位置にある．次の問いに答えよ．

(1)　さいころを$2$回投げて出た目の和で$n$を与えるとき，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の位置にある確率をそれぞれ求めよ．

(2)　さいころを$3$回投げて出た目の和で$n$を与えるとき，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$の位置にある確率を求めよ．

(3)　さいころを$5$回投げて出た目の和で$n$を与えるとき，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$の位置にある確率を求めよ．

【３】　座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$$(0,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,2)$を通る直線を$l$とする．また，中心$(3,-2)\text{，}$半径$3$の円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$と$C$は共有点を持たないことを示せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$の重心の軌跡を$T$とする．$T$はどのような図形になるか答えよ．

(4)　(3)で求めた図形$T$上の点$(x,y)$に対して$\sqrt{x^2+y^2}$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)=x|x-1|-3x+3$

と定める．次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$a$の値が$-3\leqq a\leqq -2$の範囲で動くとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=ax+3$で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)で与えられた$S$に対して，$a$の値が$-3\leqq a\leqq -2$の範囲で動くとき，$S$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

【１】　正四面体$\mathrm{OABC}$において三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$を$5:2$に外分する点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{G}$は点$\mathrm{E}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に平行な直線上にある．点$\mathrm{H}$は点$\mathrm{F}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に平行な直線上にある．$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$が一直線上にあるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$に対して，${\displaystyle \frac{{\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|}^2}{{\left|\overrightarrow{\mathrm{OG}}\right|}^2}}$を求めよ．

【３】　平面上に正五角形$\mathrm{ABCDE}$があり，頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$は時計回りに配置されている．点$\mathrm{P}$をまず頂点$\mathrm{A}$の位置に置き，この正五角形の辺にそって時計回りに頂点から頂点へ与えられた正の整数$n$だけ動かす．たとえば，$n=2$ならば点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{C}$の位置にあり，$n=6$ならば点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{B}$の位置にある．次の問いに答えよ．

(1)　さいころを$2$回投げて出た目の積で$n$を与えるとき，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$の位置にある確率および点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$の位置にある確率をそれぞれ求めよ．

(2)　さいころを$k$回投げて出た目の積で$n$を与えるとき，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$の位置にある確率を求めよ．

(3)　さいころを$k$回投げて出た目の積で$n$を与えるとき，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$の位置にある確率を$b_k$とする．$b_{k+1}$を$b_k$を用いて表せ．

(4)　(3)で与えた$b_k$に対して，$f_k=6^k{b}_k$とおく．数列$\{f_k\}$と$\{b_k\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

【４】　実数$a$と$b$に対して，関数$f(x)$を

$f(x)=a{x}^2+bx+\cos x$$+2\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}$

と定める．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}x\cos x\mathit{dx}\text{．}$${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}x\sin x\mathit{dx}$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{x}^2\cos x\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{x}^2\sin x\mathit{dx}$の値を求めよ．

(3)　$f(x)$が

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(x)\cos x\mathit{dx}=4+\pi \text{，}$

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(x)\sin x\mathit{dx}={\displaystyle \frac{4}{3}}(4+\pi )$

を満たすとき，$a$と$b$の値を求めよ．

(4)　(3)で求めた$a$と$b$で定まる$f(x)$に対して，$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【５】　複素数平面上の原点を中心とする単位円周上の$4$点$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3\text{，}$$z_4$は

$\arg {\displaystyle \frac{z_2}{z_1}}={\theta }_1>0\text{，}$$\arg {\displaystyle \frac{z_3}{z_2}}={\theta }_2>0\text{，}$$\arg {\displaystyle \frac{z_4}{z_3}}={\theta }_3>0\text{，}$

${\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3<2\pi$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$|z_2-z_1|$を${\theta }_1$を用いて表せ．

(2)　$|z_3-z_1|\text{，}$$|z_4-z_1|$を${\theta }_1\text{，}$${\theta }_2\text{，}$${\theta }_3$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{|z_4-z_1||z_2-z_1|+|z_3-z_2||z_4-z_3|}{|z_2-z_1||z_3-z_2|+|z_4-z_3||z_4-z_1|}}$$={\displaystyle \frac{|z_3-z_1|}{|z_4-z_2|}}$を示せ．

【６】　$a\geqq 0$とし，$n$を正の整数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，

${\displaystyle \frac{x}{1+a}}(1-{\displaystyle \frac{x}{2(1+a)}})$$<\log {\displaystyle \frac{1+a+x}{1+a}}$$<{\displaystyle \frac{x}{1+a}}$

を示せ．

(2)　$I_n(a)=(1+{\displaystyle \frac{1}{n^2(1+a)}})(1+{\displaystyle \frac{2}{n^2(1+a)}})$$\cdots (1+{\displaystyle \frac{n}{n^2(1+a)}})$とおく．$\underset{n\to \infty }{\lim }\log I_n(a)$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{}_{3n^2+n}C_n}{{}_{2n^2+n}C_n}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n$を求めよ．