2021　富山大学　前期MathJax

【１】　$p$は$3$よりも大きい素数であり，$p+4$も素数であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$p$を$6$で割った余りは$1$であることを示せ．

(2)　$p+2$は$3$の倍数であることを示せ．

(3)　$(p+1)(p+2)(p+3)$は$120$の倍数であることを示せ．

【２】　$p$を負の定数とする．曲線$C\text{：}y=x^3-x$を考える．

(1)　点$\mathrm{P}$$(1,p)$から曲線$C$に何本の接線が引けるかを調べよ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(1,p)$から曲線$C$にちょうど$2$本の接線が引けるとき，次の問いに答えよ．

(a)　$2$本の接線の方程式を求めよ．

(b)　(a)で求めた接線と曲線$C$の接点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．ただし，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\mathrm{R}$の$x$座標より小さいとする．線分$\mathrm{PQ}\text{，}$線分$\mathrm{PR}\text{，}$曲線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$は，すべての実数$x$とすべての正の整数$n$に対して

$a_{n+1}{x}^2+b_{n+1}x+c_{n+1}={\displaystyle {\int }_2^x}\{(a_n+b_n)t+n\}\mathit{dt}$

を満たし，$a_1=-1\text{，}$$b_1=0\text{，}$$c_1=4$とする．次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　正の整数$n$に対して$d_n=a_{n+1}-a_n$とする．数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　実数全体で定義された次の関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を考える．

$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x^2+x+2}}$

$g(x)={(x^2+x+2)}^2{f}^{\prime }(x)$

また，$0\leqq x\leqq 2\pi$における$f(x)$の最大値を$M$とおく．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲において方程式$g(x)=0$はちょうど$2$つの解をもつことを示せ．

(2)　(1)で示した$2$つの解のうち，小さい方を$\alpha$とする．$M={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2\alpha +1}}$を示せ．

(3)　不等式$M<{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\pi +2}}$を示せ．

【２】　$xy$平面上で媒介変数表示

$x=\sin \theta \text{，}$$y=\sin 2\theta$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

で表される曲線を$C$とする．

(1)　曲線$C$の凹凸を調べ，その概形をかけ．

(2)　$0<p<\sqrt{2}$とし，$y=px$で表される直線を$l$とする．

(a)　直線$l$と曲線$C$の交点の座標を$(\alpha ,\beta )$とする．ただし，$(\alpha ,\beta )\ne (0,0)$とする．$\alpha \text{，}$$\beta$をそれぞれ$p$を用いて表せ．

(b)　曲線$C$と$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし，曲線$C$と直線$l$によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=2:2-p^2$のとき，$p$の値を求めよ．

【３】　$n$は$2$以上の整数とする．$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=8\text{，}$$\mathrm{OB}=5\text{，}$$\mathrm{AB}=7$とする．線分$\mathrm{OA}$を$n$等分する点を$\mathrm{O}$に近い方から${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{n-1}$とし，${\mathrm{P}}_n=\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{OB}$を$n$等分する点を$\mathrm{O}$に近い方から${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{Q}}_{n-1}$とし，${\mathrm{Q}}_n=\mathrm{B}$とする．また，各$k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-1\text{）}$について線分$\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_k$と線分$\mathrm{B}{\mathrm{P}}_k$の交点を${\mathrm{R}}_k$とおく．さらに，${\mathrm{R}}_n$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}_k}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$n\text{，}$$k$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}_k}\right|$を$n$と$k$を用いて表せ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}_k}\right|$を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_k{\mathrm{Q}}_k{\mathrm{R}}_k$の面積を$s_k$とする．極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{s}_k$を求めよ．ただし，$s_n=0$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$をそれぞれ$1\leqq a<4\text{，}$$0\leqq b<4\text{，}$$1\leqq c<6$を満たす整数とする．正の整数$N$を$4$進数で表すと${\mathit{abba}}_{(4)}$になり，$6$進数で表すと${\mathit{ccc}}_{(6)}$になる．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$N$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　点$z$が複素数平面上で原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円周上を動くとき，$w={\displaystyle \frac{z-1}{z+i}}$が表す点$w$はどのような図形を描くか．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}{e}^x\sin x\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　実数全体で定義された次の関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を考える．

$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x^2+x+2}}$

$g(x)={(x^2+x+2)}^2{f}^{\prime }(x)$

また，$0\leqq x\leqq 2\pi$における$f(x)$の最大値を$M$とおく．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲において方程式$g(x)=0$はちょうど$2$つの解をもつことを示せ．

(2)　(1)で示した$2$つの解のうち，小さい方を$\alpha$とする．

(a)　不等式${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を示せ．

(b)　$M={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2\alpha +1}}$を示せ．

(3)　不等式$M<{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\pi +2}}$を示せ．