2021 富山大学 後期理学部数学科MathJax

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2021 富山大学 後期

理(数学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】  x0 で定義された関数 f (x)

f(x )=11 xx2 -3x+5

で定め, xy 平面上の曲線

Cy=f (x )

を考える.次の問いに答えよ.

(1) 関数 f( x) の最大値,および最大値を与える x の値を求めよ.

(2) 曲線 C と直線 ly =t が異なる 2 点で交わるような t の範囲を求めよ.

(3) (2)の範囲における t に対して,曲線 C と直線 l 2 つの交点の x 座標を小さい方から順に, a b a< b とする.

(ⅰ)  b-a t を用いて表せ.

(ⅱ)  4 つの直線 y=t y=0 x=a x=b で囲まれた長方形の面積を S (t) とおく. S(t ) の最大値,および最大値を与える t の値を求めよ.

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理(数学科)学部

易□ 並□ 難□

【2】 次の不等式を証明せよ.

12 +log9 21<log3 8< 12 36 log3 xdx

ただし,自然対数の底 e 0<e <3 であることを用いてよい.

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易□ 並□ 難□

【3】  r 0<r <1 を満たす実数とする.自然数 n に対して,複素数 wn を次の式により定める.

|wn |=r arg( wn)= π2 +π6 cos nπ 2

また,自然数 n に対して,複素数 zn を次の規則で定める.

z1=0 z2=r z n+1 znzn -zn1 =wn n 2

次の問いに答えよ.

(1) 積 w1 w2 w3w4 r を用いて表せ.

(2)  z5 r を用いて表せ.

(3) すべての自然数 n に対して, z4n +1=z 5 1r4 n1 r4 が成り立つことを示せ.

(4) 複素数 zn の実部を xn 虚部を yn とする. r=1 3 のとき,極限値 limn x 4n+1 limn y4 n+1 を求めよ.

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