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2021-10341-0201
2021 富山大学 後期
理(数学科)学部
易□ 並□ 難□
【1】 x≧0 で定義された関数 f⁡ (x) を
f⁡(x )=11 ⁢xx2 -3⁢x+5
で定め, x⁣y 平面上の曲線
C:y=f ⁡(x )
を考える.次の問いに答えよ.
(1) 関数 f⁡( x) の最大値,および最大値を与える x の値を求めよ.
(2) 曲線 C と直線 l:y =t が異なる 2 点で交わるような t の範囲を求めよ.
(3) (2)の範囲における t に対して,曲線 C と直線 l の 2 つの交点の x 座標を小さい方から順に, a, b (a< b) とする.
(ⅰ) b-a を t を用いて表せ.
(ⅱ) 4 つの直線 y=t , y=0 , x=a , x=b で囲まれた長方形の面積を S⁡ (t) とおく. S⁡(t ) の最大値,および最大値を与える t の値を求めよ.
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【2】 次の不等式を証明せよ.
12 +log9⁡ 21<log3 ⁡8< 12⁢ ∫36 log3⁡ x⁢dx
ただし,自然対数の底 e は 0<e <3 であることを用いてよい.
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【3】 r を 0<r <1 を満たす実数とする.自然数 n に対して,複素数 wn を次の式により定める.
|wn |=r , arg⁡( wn)= π2 +π6 ⁢cos⁡ n⁢π 2
また,自然数 n に対して,複素数 zn を次の規則で定める.
z1=0 , z2=r , z n+1− znzn -zn−1 =wn (n ≧2 )
次の問いに答えよ.
(1) 積 w1 ⁢w2⁢ w3⁢w4 を r を用いて表せ.
(2) z5 を r を用いて表せ.
(3) すべての自然数 n に対して, z4⁢n +1=z 5⁢ 1−r4⁢ n1− r4 が成り立つことを示せ.
(4) 複素数 zn の実部を xn , 虚部を yn とする. r=1 3 のとき,極限値 limn →∞x 4⁢n+1 , limn→ ∞y4 ⁢n+1 を求めよ.