2021　富山大学　後期工，都市デザイン学部MathJax

【１】　$f(u+v)=f(u)f(v)$を満たし，連続で微分可能な関数$f(x)$を考える．曲線$y=f(x)$が$x=0$で直線$y=ax+b$と接するとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$u\text{，}$$v$は実数，また$a\ne 0\text{，}$$b\ne 0$とする．

(1)　$b$を求めよ．

(2)　$f(-x)$を$f(x)$を用いて表せ．

(3)　導関数の定義にしたがって$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を，$a\text{，}$$f(x)$を用いて表せ．

(4)　次の不定積分を$a\text{，}$$f(x)$を用いて表せ．

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{f(-x)}{f(-x)+2}}\mathit{dx}$

(5)　次の定積分を$a\text{，}$$f(x)$を用いて表せ．

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)\cos (x)\mathit{dx}$

【２】　複素数$z=x+iy$が与えられたとき，以下の問いに答えよ．ただし，$x\text{，}$$y$は実数，$i$は虚数単位とする．

(1)　$z^6=-1$を解け．

(2)　$|z-\sqrt{3}|+|z+\sqrt{3}|=4$を満たす点$z$の全体は，どのような図形か．

(3)　上問(2)の図形を表す方程式を$x\text{，}$$y$を用いて表せ．

(4)　上問(2)の図形を，原点を中心に${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$回転して得られる図形の方程式を$x\text{，}$$y$を用いて表せ．

【３】　四角形の中に，各辺の中点を頂点とする四角形を作る．この行為をくり返し，内部により小さな四角形を作り続ける．ここで，この行為が$n$回行われたときに作られた四角形の周の長さを$a_n$とする．また，行為を無限にくり返すとき，作られる四角形すべての周の長さの総和を$S={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{a}_k$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　最初に与えられる四角形が，一辺の長さ$\alpha$の「正方形」であるとき，$a_n$および$S$を求めよ．

(2)　最初に与えられる四角形が，長辺の長さ$\alpha \text{，}$短辺の長さ$\beta$の「長方形」であるとき，$a_n$および$S$を求めよ．