2021　富山大学　前期追試験MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を実数とし，

$I={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{(x+a\sin x+b\sin 2x)}^2\mathit{dx}$

とおく．

(1)　$n$を自然数とするとき，${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}x\sin nx\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$m\text{，}$$n$を自然数とするとき，${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\sin mx\sin nx\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$I$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(4)　$a\text{，}$$b$が実数全体を動くとき，$I$の最小値とそのときの$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【２】　次の条件によって定まる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=2\text{，}$$a_2=8\text{，}$$a_{n+2}={\displaystyle \frac{{a_{n+1}}^3}{{a_n}^2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$b_n={\log }_2{a}_{n+1}-{\log }_2{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定まる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$a_n>{2021}^{1000}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$P(x)$は$2$次以上の整式，$\alpha$は実数とする．$P(\alpha )=P^{\prime }(\alpha )=0$が成り立つとき，$P(x)$は${(x-\alpha )}^2$で割り切れることを示せ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4-z^3-3x^2+18x+10$を考える．

(a)　関数$f(x)$の増減を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．

(b)　曲線$y=f(x)$と異なる$2$点で接する直線の方程式を求めよ．