2021　富山大学　推薦理学部数学科MathJax

【１】　$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数として，平面上の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2\cos 2\theta ,2\sin 2\theta )$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{AB}$の長さを$\sin \theta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の内接円の半径$r$を$\sin \theta \text{，}$$\cos \theta$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵OAB}$の内心の$x$座標を$f(\theta )\text{，}$$y$座標を$g(\theta )$とおく．$f(\theta )\text{，}$$g(\theta )$をそれぞれ$\sin \theta \text{，}$$\cos \theta$を用いて表せ．

(4)　関数$h(\theta )$を$h(\theta )=f^{\prime }(\theta )g(\theta )$とおく．ただし，$f^{\prime }(\theta )$は$f(\theta )$の導関数とする．$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において$h(\theta )$の最小値，および最小値を与える$\theta$の値を求めよ．

【２】　四則演算では，例えば次のように$()$内を優先して計算する規則になっている．

$(8÷2)÷(6÷3)=4÷2=2$

当然，$()$の位置によって計算結果は異なってくる．例えば

$8÷\{(2÷6)÷3\}=8÷({\displaystyle \frac{1}{3}}÷3)=8÷{\displaystyle \frac{1}{9}}=72$

となる．

　このことを念頭において，以下の問題に答えよ．

　$t$を$1$でない実数とする．平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$に対して，演算$\overrightarrow{a}⊳\overrightarrow{b}$を次のように定義する．

$\overrightarrow{a}⊳\overrightarrow{b}=t\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}$

(1)　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$について，

$(\overrightarrow{a}⊳\overrightarrow{b})⊳\overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}⊳\overrightarrow{c})⊳(\overrightarrow{b}⊳\overrightarrow{c})$

が成り立つことを示せ．

(2)　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$について，$\overrightarrow{a}⊳\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$が成り立つことを示せ．

(3)　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$に対して，平面上のベクトル$\overrightarrow{c}$で次の性質を満たすものを$t$と$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

$\overrightarrow{a}⊳\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}$

　以下，この$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{b}◂\overrightarrow{a}$と表す．

(4)　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$について，

$(\overrightarrow{a}⊳\overrightarrow{b})◂\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$

が成り立つことを示せ．

【３】　平面上の$\mathrm{▵ABC}$を考える．$n$を自然数とし，辺$\mathrm{BC}$を$n:1$に内分する点を${\mathrm{P}}_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　次の等式を示せ．

${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2=2({\left|\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{C}{\mathrm{P}}_1}\right|}^2)$

(2)　次の等式を示せ．

${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2+n{\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2=(n+1)({\left|\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{P}}_n}\right|}^2+n{\left|\overrightarrow{\mathrm{C}{\mathrm{P}}_n}\right|}^2)$

(3)　平面上の四角形$\mathrm{PQRS}$は次の条件を満たすとする．ただし，$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$はこの順に反時計回りに並んでいるとする．

$\overrightarrow{\mathrm{SR}}=n\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{QS}}\right|$

このとき，平面上の任意の点$\mathrm{T}$について，次の等式を示せ．

$n({\left|\overrightarrow{\mathrm{TP}}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{\mathrm{TQ}}\right|}^2)={\left|\overrightarrow{\mathrm{TS}}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{\mathrm{TR}}\right|}^2$