2021　金沢大学　前期　文系MathJax

【１】　関数$f(x)=x^3+2x^2-4x-3$に対し，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$$(-1,f(-1))$における接線の方程式を$y=g(x)$とする．関数$h(x)$を

$h(x)=x(x+1)(x-1)+g(x)$

と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　接線の方程式$y=g(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$と$y=g(x)$との共有点のうち，$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．曲線$y=h(x)$が点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通ることを示せ．

(3)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=h(x)$とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　平面上の$\mathrm{▵ABC}$で$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{AC}=3$となるものを考え，$\mathrm{▵ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．また，辺$\mathrm{AC}$を$1:5$の比に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos \mathrm{\angle ABC}$と$\cos \mathrm{\angle AOC}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$と$\cos \mathrm{\angle POC}$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{P}$を通る直線が$\mathrm{▵ABC}$の外接円と交わる点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を用いて表せ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$n$を整数とするとき，一次不定方程式$3x+5y=n$の整数解をすべて求めよ．

(2)　$0$以上$7$以下の整数$n$のうち，$0$以上の整数$x\text{，}$$y$を用いて$n=3x+5y$と表せないものの個数を求めよ．

(3)　$8$以上のすべての整数$n$は，$0$以上の整数$x\text{，}$$y$を用いて$n=3x+5y$と表せることを示せ．