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2021 福井大学 前期

教育,国際地域科,工学部

工学部は【2】

医学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【1】  1 から 4 までの番号を 1 つずつ記した 4 枚のカードが袋に入っている.袋からカードを 1 枚取り出し,番号を確認して袋に戻す操作を 5 回行う. k 回目に出た番号を ak とし,さらに x0 x1 x2 x3 x4 x5 を次の規則で定める.

(規則)  x0=0 xk= { xk1 +ak a kが偶数のとき) xk 1ak ak が奇数のとき)

k= 12 3 4 5

例えば, a1=3 a2=1 a3=2 a4=1 a5=4 のとき, x0=0 x1= 0 x2=0 x3=2 x4=2 x5=6 である.以下の問いに答えよ.

(1)  x5=0 である確率を求めよ.

(2)  x5=2 である確率を求めよ.

(3)  x5=2 であるとき, x2=2 である条件付き確率を求めよ.

(4)  x5=4 である確率を求めよ.

2021 福井大学 前期

教育,国際地域科,工学部

工学部は【3】

易□ 並□ 難□

【2】  f(x )=169 x43 x+2 3x+2 +9x とし, t=43 x+3 x とおくとき,以下の問いに答えよ.

(1)  t の最小値とそのときの x の値を求めよ.

(2)  f(x ) t の式で表せ.

(3)  x の方程式 f (x)= k の相異なる実数解の個数が 3 個であるとき,定数 k の値と, 3 つの実数解を求めよ.

2021 福井大学 前期

教育,国際地域科,工学部

工学部は【1】

易□ 並□ 難□

【3】  OA=5 OB=4 ∠AOB=60 ° である ▵OAB において,辺 OA 1:2 に内分する点を C OB 2:1 に内分する点を D とする.また,直線 AD と直線 BC の交点を P とし, ▵OAB の垂心を H とする. OA= a OB= b とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)  OP a b を用いて表せ.

(2)  OH a b を用いて表せ.

(3)  ▵OAB の重心を G とするとき, 3 G H P は一直線上にあることを示し, GH:HP を求めよ.

2021 福井大学 前期

教育,工学部

【4】と【5】から1題選択

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x)= (log x)2 について,以下の問いに答えよ.

(1)  f(x ) の極値およびそのときの x の値を求めよ.

(2) 不定積分 f (x) dx を求めよ.

(3) 曲線 y=f (x ) と直線 y=4 で囲まれた図形の面積 S を求めよ.

2021 福井大学 前期

教育学部

【4】と【5】から1題選択

易□ 並□ 難□

【5】 自然数 n に対して,

Sn= k=1 nC k-1 n-1 k =C0 n-1 + C1 n-1 2+ + Cn-1 n-1 n

Tn= k=1 n Ck nk =C1 n + C2 n2 ++ Cn nn

とおく.ただし, C0 0= 1 とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  S2 T2 を求めよ.

(2)  k=1 2 n に対して, n Ck-1 n-1 =k Ck n を示せ.

(3)  Sn= 2n1 n を示せ.

(4)  Tn=S 1+S2 ++Sn を示せ.必要ならば,等式 Ck n= Ck n-1 + Ck-1 n-1 n 2 k=1 2 n-1 を用いてよい.

(編注) 工学部では(2)の冒頭が「 k=1 n

2021 福井大学 前期

国際地域科学部

易□ 並□ 難□

A B
a b 7 16 9 14 12 16
8 12 17 12 13 14 12 12
12 9 12 18 11 15 13 10
11 9 12   13 14 13 17
平均値: 12 平均値: c
 分散: 10  分散: 4

【6】 次の表は, 2 つのクラス( A 15 名と B 16 名)にて行われた数学の小テスト( 20 点満点,単位:点)の結果についてまとめたものである.ただし, a<b であるとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  a b c の値を求めよ.

(2)  A 組, B 組のデータについて,四分位範囲と四分位偏差をそれぞれ求めよ.

(3)  A 組, B 組のデータについて,標準偏差と四分位偏差を用いてデータの散らばりの度合いを比較せよ.



2021 福井大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 C が媒介変数 θ を用いて, x=3cos θ-4 sinθ y=4cos θ+3 sinθ (0<θ< 32 π) と表されている.また,点 (a ,-a) を中心とする半径 1 の円 S がある.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  z 座標, y 座標がともに整数になる C 上の点を求めよ.

(2)  S C が共有点をもつとき, a の値の範囲を求めよ.

(3)  S C の共有点が存在する範囲を座標平面上に図示せよ.

2021 福井大学 前期

医(医学科)学部

教育,国際地域科【1】,工学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  n 2 以上の自然数とする.さいころを n 回投げて, k 回目に出た目の数を ak とする.さらに, x0 x1 xn を次の規則により定める.

(規則)  x0=0 xk= { xk1 +ak a kが偶数のとき) xk 1ak ak が奇数のとき) k= 12 n

このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  xn=0 である確率を求めよ.

(2)  xn=2 である確率を求めよ.

(3)  xn=4 である確率を求めよ.

2021 福井大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【3】  a>0 のとき, 0<t<1 を満たす定数 t に対して,

f(x )=tlog (1+ x)-log (1+a l-t xt)

とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  x>0 での f (x) の最小値とそのときの x の値を求めよ.

(2)  b>0 のとき,不等式 ( 1+a) 1-t (1+b )t 1+a1 -tb t が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つのはどのようなときか.

(3)  36-1 =728 96-1 =728730 である. 7306 の小数第 2 位の数を求めよ.

2021 福井大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【4】 座標空間において, 2 A (1,0, -1) B (1,2, 1) を通る直線 l z 軸のまわりに 1 回転してできる曲面を S とする.また,点 (0 ,1,1) を通り, x 軸を含む平面を α とする.さらに,平面 α と曲面 S が交わってできる曲線を C とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  l xy 平面の交点を求めよ.

(2)  S および 2 つの平面 z=1 z=-1 で囲まれた部分の体積を求めよ.

(3)  C 上の各点を通り, z 軸に平行な直線と xy 平面の交点の座標を (v ,v,0) とする. v u の式で表せ.

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