2021　山梨大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(1)　$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$かつ$a^2+b^2=1$のとき，等式${\log }_a{b}^2={\log }_{b}ab$を満たす実数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(2)　$n$が自然数のとき，等式${\displaystyle \frac{1}{2!}}+{\displaystyle \frac{2}{3!}}+{\displaystyle \frac{3}{4!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{n}{(n+1)!}}$$=1-{\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}$が成り立つことを証明せよ．

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(3)　$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$について，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$とする．このとき，$\mathrm{▵MDE}$の面積を求めよ．

【２】　関数$f(x)$は等式$f(x)=3x^2+{\displaystyle {\int }_0^2}xf(t)\mathit{dt}+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)\mathit{dt}$を満たす．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　関数$g(x)=xf(x)+x$の区間$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq \sqrt{3}$における最大値と最小値を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を正の実数とし，$s\text{，}$$t$を$0<s<1\text{，}$$0<t<1$を満たす実数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,b)$がある．線分$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k$を$s\text{，}$$t$で表せ．

(2)　$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{OP}$を直径とする円の円周上にあるとする．このとき，$k={\displaystyle \frac{(1-t)b^2}{t^2{a}^2+{(1-t)}^2{b}^2}}$であることを示せ．

(3)　(2)のときの$\mathrm{R}$が，$\mathrm{▵OAB}$の重心$\mathrm{G}$と一致するとき，${\displaystyle \frac{a}{b}}$の値を求めよ．

【１】(3)　複素数平面上において，原点を中心とする円に内接する正三角形がある．この正三角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$B(\beta )\text{，}$ $\mathrm{C}(\gamma )$とする．このとき，${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }}+{\displaystyle \frac{1}{\gamma }}$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=2-{\displaystyle \frac{2x-3}{x^2-3x+3}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$に対して，$f(x)>0$であることを示せ．

(2)　$xy$平面において，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=k\text{，}$$x=k+1$とで囲まれた部分の面積を$S(k)$とする．ただし，$k$は実数である．このとき，$S(k)$を$k$を用いて表せ．

(3)　$k$が実数全体を動くとき，(2)で定めた$S(k)$の最大値を求めよ．

【４】　$n$を$3$以上の自然数とし，$A$を正の定数とする．面積が$A$である正$n$角形の周の長さを$L_n$とし，$x_n={\displaystyle \frac{\pi }{n}}$とする．また，面積が$A$である円の円周の長さを$L$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$L_3$を$A$を用いて表せ．

(2)　$L_n$を$A$と$x_n$を用いて表せ．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\tan x}{x}}$$(0<x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$の増減を調べ，とり得る値の範囲を求めよ．

(4)　数列$L\text{，}$$L_3\text{，}$$L_4\text{，}$$L_5\text{，}$$\cdots \text{，}$$L_n\text{，}$$\cdots$について，値が最大の項と最小の項を求め，それぞれを$A$を用いて表せ．