2021　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　$a$は実数とする．放物線$y=x^2+a$と円$x^2+y^2=4$が共有点をもつための必要十分条件を，$a$のとりうる値の範囲で定めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　中心を$\mathrm{O}$とする半径$1$の円に内接する正$24$角形の隣り合う$2$つの頂点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めなさい．

(2)　不等式

$\pi >3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

が成り立つことを証明しなさい．

【３】　数列$\{a_n\}$は，

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=\sqrt{4a_n-3}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義されている．次の問いに答えなさい．

(1)　すべての自然数$n$について，不等式

$2\leqq a_n\leqq 3$

が成り立つことを証明しなさい．

(2)　すべての自然数$n$について，不等式

$|a_{n+1}-3|\leqq {\displaystyle \frac{4}{5}}|a_n-3|$

が成り立つことを証明しなさい．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めなさい．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{1+e^{-x}}}$について，次の値を求めなさい．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(x)\mathit{dx}-{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(-x)\mathit{dx}$(2)　${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(x)\mathit{dx}$