2021　信州大学　前期　経法，理，医MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$2$つの変量$x\text{，}$$y$のデータが，$5$個の$x\text{，}$$y$の値の組として右のように与えられているとする．

　$x$と$y$の相関係数を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$20$個の値からなるデータがある．そのうちの$15$個の値の平均値は$10$で分散は$5$であり，残りの$5$個の値の平均値は$14$で分散は$13$である．このデータの平均値と分散を求めよ．

【２】　座標平面において，円$C$は$x>0$の範囲で軸と接しているとする．円$C$の中心を$\mathrm{P}\text{，}$円$C$と$x$軸との接点を$\mathrm{Q}$とする．また，円$C$は，放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{R}$$(\sqrt{2},2)$を通り，点$\mathrm{R}$において放物線$y=x^2$と共通の接線をもつとする．このとき，$\mathrm{▵PQR}$の面積を求めよ．

【３】　箱の中に，$2$と書かれた札$1$枚と，$3$と書かれた札$2$枚が入っている．この箱から札を$1$枚引き，書かれている数字を見てからもとにもどす．この試行を$n$回繰り返す．

　このとき，$j$回目の試行で引いた札に書かれている数字を$a_j$とし，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$の積を$A_n$とおく．さらに，$A_n$を$12$で割った余りを$r_n$とする．

　$n\geqq 3$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$2$と書かれた札が出る回数を$p$とする．このとき，$r_n=6$となるための$p$がみたす必要十分条件を求めよ．

(2)　$r_n=6$となる確率を$n$を用いて表せ．

(3)　$r_n=0$となる確率を$n$を用いて表せ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

　辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$を$1:2$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とし，辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$が同一平面上にあることを示せ．

(2)　$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の定める平面と直線$\mathrm{FR}$の交点を$\mathrm{S}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^4{(1-x)}^4\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^4{(1-x)}^4}{1+x^2}}\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　不等式${\displaystyle \frac{1}{1260}}<{\displaystyle \frac{22}{7}}-\pi <{\displaystyle \frac{1}{630}}$を示せ．

【６】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定数とする．関数$f(x)=a\sin x+b\cos x+c\sin 2x$は，$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$で極大値$6\sqrt{2}+\sqrt{3}$をとるとする．また，${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\mathit{dx}=12$であるとする．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．また，区間$-\pi \leqq x\leqq \pi$における$f(x)$の最小値を求めよ．

【７】　実数全体を定義域とする関数$f(x)$は，すべての実数$a\text{，}$$b$に対し，

$f(a+b)=f(a)+f(b)+4ab$

をみたすとする．さらに，関数$f(x)$は$x=0$で微分可能で，$f^{\prime }(0)=2$であるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(0)$の値を求めよ．

(2)　関数$f(x)$は区間$(-\infty ,\infty )$で微分可能であることを示せ．また，関数$f(x)$を求めよ．

(3)　関数$g(x)={\displaystyle {\int }_1^x}{\displaystyle \frac{1}{f(t)}}\mathit{dt}$$\text{（}x>1\text{）}$の極限$\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)$を求めよ．