2021　信州大学　後期　理，繊維学部MathJax

2021-10421-0301

2021　信州大学　後期　理，工，繊維学部

易□　並□　難□

【１】　 $θ$ を $0 < θ < \frac{π}{2}$ をみたす実数とし， $s = \frac{2}{2 \sin θ + 1}$ とおく．

　平面上の点 $O ，$ $A ，$ $B$ は， $| \vec{OA} | = 1 ，$ $| \vec{OB} | = 2 ，$ $∠AOB = 2 θ$ をみたすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $s < 1$ をみたす $θ$ の範囲を求めよ．

(2)　 $θ$ は(1)で求めた範囲を動くとする．さらに，線分 $AB$ を $(1 - s) : s$ に内分する点を $C ，$ 線分 $OB$ の中点を $D$ とし，線分 $AD$ と線分 $OC$ の交点を $P$ とする．このとき， $| \vec{PD} |$ は $θ$ の値によらないことを示せ．

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易□　並□　難□

【２】　 $a ，$ $b$ を $1 ≦ a < b ≦ 5$ をみたす整数とする．区間 $a π ≦ x ≦ b π$ において，曲線 $y = \sqrt{x} \sin x$ と $x$ 軸で囲まれた部分が， $x$ 軸の周りに $1$ 回転してできる回転体の体積を $V$ とする．このとき， $V ≧ 6 π^{2}$ となるような組 $(a, b)$ をすべて求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　実数 $θ$ は $0 < θ < π$ をみたすとする．また，複素数平面上の $3$ 点 $A (α) ，$ $B (β) ，$ $C (γ)$ は同一直線上にないとする．

点 $A (α)$ を，点 $B (β)$ を中心として $θ$ だけ回転した点を $P$

点 $B (β)$ を，点 $C (γ)$ を中心として $θ$ だけ回転した点を $Q$

点 $C (γ)$ を，点 $A (α)$ を中心として $θ$ だけ回転した点を $R$

とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $3$ 点 $P ，$ $Q ，$ $R$ が同一直線上にないとき， $▵ABC$ の重心と $▵PQR$ の重心は一致することを示せ．

(2)　 $i$ を虚数単位とし， $α = 3 \sqrt{3} + 2 i ，$ $β = 2 - i ，$ $| β - γ | = 2 ，$ $\arg (β - γ) = θ$ であるとする．直線 $PC$ と直線 $QC$ が直交するとき， $θ$ の値を求めよ．

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易□　並□　難□

【４】　座標平面上を運動する点 $P$ の時刻 $t$ における座標 $(x, y)$ が

$x = 2 t + \sin (2 t) - \cos^{2} t ，$ $y = t - \frac{1}{2} \sin (2 t) + 2 \sin^{2} t$

で表されるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　時刻 $t = \frac{π}{4}$ における点 $P$ の速度と加速度を求めよ．

(2)　 $t = 0$ から $t = π$ までに点 $P$ が動いた道のりを求めよ．

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2021　信州大学　後期　理学部

易□　並□　難□

【５】　 $n$ を自然数とする．実数 $x > 0$ に対し，

$\sin x = \sum_{k = 1}^{n} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{(2 k - 1)!} x^{2 k - 1}$ $+ \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n - 1)!} \int_{0}^{x} {(x - 5)}^{2 n - 1} \sin t dt$

となることを示せ．

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