2021　岐阜大学　前期MathJax

【１】　空間の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,1,1)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$u:(1-u)$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$四面体$\mathrm{OMPQ}$の体積を$V^{\prime }$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵APQ}\text{，}$$\mathrm{▵BPM}\text{，}$$\mathrm{▵CQM}$の面積を，それぞれ$t\text{，}$$u$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{V^{\prime }}{V}}$を$t\text{，}$$u$を用いて表せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OM}}$であるとき，$t$を$u$を用いて表せ．

(5)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OM}}$であるように点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がそれぞれ辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$上を動くとき，${\displaystyle \frac{V^{\prime }}{V}}$の最大値を求めよ．

【２】　右図のように，縦$2$列，横$n$列に並んだ合計$2n$席の座席があり，その中から$k$席の座席を選ぶ．ただし，選んだ座席の前後左右に隣接する座席は選ばないこととする．以下の問に答えよ．

(1)　$k=n$のとき，座席の選び方は何通りあるか．

(2)　$n\geqq 3\text{，}$$k=n-1$とする．右端から$2$列目の前後$2$席がどちらも選ばれていないような，座席の選び方は何通りあるか．

(3)　$n\geqq 3\text{，}$$k=n-1$のとき，座席の選び方は何通りあるか．

(4)　$n\geqq 5\text{，}$$k=n-2$のとき，座席の選び方は何通りあるか．

【３】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}=4-{\displaystyle \frac{4}{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

また，数列$\{b_n\}$を

$b_n=n{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．以下の問に答えよ．

(1)　$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3\text{，}$$b_4$を求めよ．

(2)　$b_{n+1}$を$b_n$と$n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を推測して，それを数学的帰納法を用いて示せ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

(5)　数列$\{c_n\}$を$c_1=a_1\text{，}$$c_2=a_1{a}_2\text{，}$$c_3=a_1{a}_2{a}_3\text{．}$以下$c_n=a_1{a}_2\cdots a_n$$\text{（}n=4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$\cdots \text{）}$で定める．${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_k$を求めよ．

【４】　関数

$f(x)=4^x+4^{-x}-6\cdot 2^x-6\cdot 2^{-x}+2$

を考える．以下の問に答えよ．

(1)　不等式$2^x+2^{-x}\geqq 2$が成り立つことを示せ．また，等号が成立する$x$の値を求めよ．

(2)　$t=2^x+2^{-x}$とする．$f(x)$を$t$を用いて表せ．

(3)　等式

$s+{\displaystyle \frac{1}{s}}=6$

を満たすような正の実数$s$の値を求めよ．

(4)　方程式$f(x)=0$を解け．

【５】　以下の問[Ⅰ]と問[Ⅱ]に答えよ．

[Ⅰ]　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{16}}{x}^4-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+25$

を考える．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　方程式$f^{\prime }(x)=0$を解け．

(3)　関数$f(x)$の増減表を作り，極値を求めよ．

【５】　以下の問[Ⅰ]と問[Ⅱ]に答えよ．

[Ⅱ]　$xy$平面上に点$(0,5)$を中心とする半径$r$$\text{（}r\leqq 5\text{）}$の円$C$と放物線$H\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$を考える．

(1)　円$C$と放物線$H$の共有点の個数が$2$個のとき，半径$r$の値および，共有点の座標を求めよ．

{2)　[Ⅱ]の(1)で求めた円$C$の外側と放物線$H$の上側との共通部分のうち点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を含む部分の面積を求めよ．

【４】　$r>0$とする．関数

$f(x)=\sin 2x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$g(x)=r\cos x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を考える．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S$で表す．以下の問に答えよ．

(1)　面積$S$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が，$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における，ただひとつの共有点$\mathrm{P}$をもつような$r$の値の範囲を求めよ．また，共有点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$として，$r$を$t$を用いて表せ．

(3)　$r$が(2)で定めた範囲内の値をとるとし，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる部分の面積を$T$で表す．$T$を$r$を用いて表せ．

(4)　$r$が(2)で定めた範囲内の値をとるとし，$T$を(3)で定めた面積とする．${\displaystyle \frac{S}{T}}=4$のとき，$r$の値を求めよ．また，そのときの(2)の共有点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

{5)　$r$を(4)で定めた値とする．曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる部分が$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【５】　$n$を$2$以上の自然数とする．関数

$f(x)=x^n{e}^{-x}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

$g(x)=e^{x-n}-{\left({\displaystyle \frac{x}{n}}\right)}^n$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

を考える．以下の問に答えよ．ただし$e$は自然対数の底である．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の最大値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{g(x)}{e^x{n}^{-n}}}\geqq 0$が成り立つことを示せ．

(4)　$x$軸，直線$x=n+1\text{，}$および曲線$y=g(x)$で囲まれる部分の面積$S_n$を求めよ．

(5)

${\displaystyle \frac{1}{n+1}}<e-{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$

が成り立つことを示せ．