2021　静岡大学　前期MathJax

【１】　$a$を$a>0\text{，}$$a\ne 1$を満たす定数とし，$2$つの$2$次関数

$f(x)=x^2-x-a\text{，}$$g(x)=x^2-ax-1$

を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$と$g(x)=0$は共に$2$つの異なる実数解を持つことを示せ．

(2)　$g(x)=0$の$2$つの解のうち$1$つだけが$f(x)=0$の$2$つの解の間にあることを示せ．

(3)　放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S(a)\text{，}$放物線$y=g(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$T(a)$とする．$S(a)=T(a)$となるときの$a$と$S(a)$の値を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\mathrm{CD}=3$とする．点$\mathrm{D}$から三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面へ垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V$を求めよ．

【３】　$1$から$n$までの自然数を$1$つずつ選び，順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$とする．ただし，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$は互いに異なる数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　等式${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)$が成立することを示せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(a_k-k)}^2+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\{a_k-(n-k+1)\}}^2$を$n$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(a_k-k)}^2$が最大となるときの$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$を求めよ．

【１】　$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードがある．この中からカードを無作為に$1$枚引いて，書かれた数字を見てからカードをもとに戻す．これを$3$回繰り返すとき，引いたカードに書かれた$3$つの数字の積について，次の問いに答えよ．

(1)　この積が奇数となる確率を求めよ．

(2)　この積が$3$の倍数となる確率を求めよ．

(3)　この積が$6$と互いに素となる確率を求めよ．

(4)　この積が$6$の倍数となる確率を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^4-2x^3-3x^2+4x+4$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減と極値を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$a\text{，}$$b$を$0$以上の整数とする．このとき

${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{a+1}{(1-x)}^b\mathit{dx}={\displaystyle \frac{a+1}{b+1}}{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^a{(1-x)}^{b+1}\mathit{dx}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(4)　(3)の図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【３】　実数$t$を変数とする$2$つの関数

$c(t)={\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}\text{，}$$s(t)={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}$

を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　媒介変数表示$\{\begin{array}{l}x=c(t)\\ y=s(t)\end{array}$で表される曲線を$C$とする．このとき，$x$と$y$の関係式を求め，曲線$C$の概形をかけ．

(2)　$c(t)$と$s(t)$をそれぞれ微分せよ．

(3)　$u=s(t)$と置換することにより，定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{1+u^2}\mathit{du}$

の値を求めよ．

【４】　次の$\text{問題}$について，しずかさん，れいさん，ゆうだいさんの$3$人が議論をしている．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　図とれいさんの考えを使って$\text{問題}$を解くとき，次の小問に答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{\angle ADC}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle BDC}=\beta$として，$\tan \theta$を$\tan \alpha \text{，}$$\tan \beta$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\tan \theta$を$x$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\theta$が最大となるときの，$\tan \theta$と$x$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　図とゆうだいさんの考えを使って$\text{問題}$を解くとき，この人がこの垂れ幕の上端と下端を見込む角が最大となる位置は，ゆうだいさんのかいた円と半直線$\mathrm{CD}$との接点になることを示せ．