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2021-10461-0201
2021 静岡大学 後期
教育(数学教育専修)学部
配点30%
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 0≦x≦ 1 のとき,不等式
1−x≦ e-x ≦1 1+x
が成り立つことを示せ.
(2) 不等式
π−2≦ ∫−π4 π4 e-tan2 ⁡x ⁢dx ≦π4 +12
2021-10461-0202
配点は35%
【2】 座標平面上に 2 点 A (3 2,0 ), B (− 32, 0) をとり,点 B を中心とする半径 2 の円を C とする.点 A と円 C 上の動点 Q を結ぶ線分 AQ の垂直二等分線が線分 BQ と交わる点を P とし,点 Q が円 C 上を 1 周するときの点 P のえがく曲線を E とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 曲線 E が 2 点 A , B を焦点とする楕円になることを示し,その方程式を求めよ.
(2) 曲線 E 上の点 P に対して, BP=r , ∠PBA=α とするとき, r= 14−2⁢ 3⁢cos⁡ α となることを示せ.
(3) 点 B を通る直線と曲線 E との交点を D 1, D2 とする.ただし, 3 点 A , D1 , D2 は同一直線上にはないとする.このとき, ∠D1 BA=θ とおいて ▵A D1 D2 の面積を θ を用いて表せ.
(4) (3)における ▵A D1 D2 の面積の最大値を求めよ.
2021-10461-0203
教育(数学教育専修),理(想像理学コース),工,情報学部
配点は教育(数学教育専修)学部35%,理(想像理学コース),工,情報学部25%
理(想像理学コース),工,情報学部は【1】
【3】 r を正の実数とし,複素数平面における原点 O を中心とする半径 r の円を C とする. 0 でない複索数 z に対して, O から点 P ⁡(z ) に向かう半直線上の点 Q ⁡(w ) が | w|⋅ |z|= r2 を満たしている.このとき,次の問いに答えよ.
(1) w を r と z を用いて表せ.
(2) 点 P が円 C の内部にあるならば,点 Q は円 C の外部にあることを示せ.
(3) 実軸上の点 R ⁡( r2) を通り,複素数平面の実軸に垂直な直線を l とする.点 P が直線 l 上を動くとき,点 Q がえがく図形を求め,複素数平面上に図示せよ.
2021-10461-0204
理(数学科)学部
配点20%
【1】 自然数 n に対して, An , Bn を数直線上の点とし,点 A n の座標を an , 点 B n の座標を bn で表す.ただし, a1= 0, b1= 1 とし,点 A n+1 を点 A n と点 B n の中点,点 B n+1 を線分 A nBn を 4: 1 に外分する点とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) a2 , b2 , a3 , b3 をそれぞれ求めよ.
(2) an+1 を a n, bn を用いて表せ.
(3) bn+1 を an , bn を用いて表せ.
(4) bn- an を n を用いて表せ.
(5) an を n を用いて表せ.
2021-10461-0205
配点は20%
【2】 座標空間において,原点 O を中心とする半径 1 の球面上に 3 点 A (cos⁡θ ,sin⁡θ,0 ), B (cos⁡ (-θ) ,sin⁡(- θ),0 ), C (x,y ,z) をとる.ただし, 0<θ< π2 , z>0 であり, ∠COA=∠COB とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) ∠COA=α とおく.このとき, x, y, z をそれぞれ α , θ を用いて表せ.
(2) ∠COA=∠AOB かつ AC= 102 のとき, x , y, z をそれぞれ求めよ.
2021-10461-0206
【3】 複素数 α は α5 =1 , α≠1 を満たしている.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 等式 1+α +α2+ α3+α 4=0 が成り立つことを示せ.
(2) (1-α )⁢( 1-α2 )⁢( 1-α3 )⁢( 1-α4 ) が実数であることを示し,その値を求めよ.
(3) 0≦θ <2⁢π を満たす実数 θ に対して, z=cos⁡ θ+i⁢sin ⁡θ とおく.このとき,等式
|1- z|=2 ⁢sin⁡ θ2
が成り立つことを示せ.ただし, i は虚数単位を表す.
(4) sin⁡ π5⁢ sin⁡ 2⁢π 5⁢ sin⁡ 3⁢π5 ⁢sin ⁡4 ⁢π5 の値を求めよ.
2021-10461-0207
【4】 e を自然対数の底とし,関数 f⁡ (x) =(2⁢ x-1) ⁢e-x 2 を考える. y=f⁡ (x) のグラフを C とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) y=f⁡( x) の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べ,そのグラフの概形を描け.必要ならば, limx→∞ f⁡(x )=0 を用いてよい.
(2) C 上の点 ( a,f⁡( a)) における接線の方程式を a を用いて表せ.
(3) 原点を通る C の接線をすべて求めよ.
(4) (3)で求めた接線と C で囲まれた部分の面積を求めよ.
2021-10461-0208
【5】 p, q を異なる素数とするとき,次の各命題が真であることを証明せよ.
(1) C1 p , C2 p , ⋯ , Cp- 1 p はいずれも p の倍数である.
(2) すべての自然数 n に対して np -n は p の倍数である.
(3) すべての自然数 n に対して n (p−1 )⁢( q-1)+ 1-n は p⁢ q の倍数である.
2021-10461-0209
理(創造理学コース),工,情報(情報科学科)学部
配点25%
【2】 A , A , B , B , C , D , E の 7 文字を1列に並べるとき,次の問いに答えよ.
(1) 並べ方は何通りあるか求めよ.
(2) A が 2 個連続して並ぶような並べ方は何通りあるか求めよ.
(3) 同じ文字が連続して並ばないような並べ方は何通りあるか求めよ.
2021-10461-0210
【3】 t を 0<t <1 を満たす実数とする.四面体 OABC において, AC を t: (1-t ) に内分する点を P , PB を ( 1-t) :t に内分する点を Q とし, CQ の延長と AB との交点を R とする. OA→= a→ , OB→= b→ , OC→= c→ とするとき,次の問いに答えよ.
(1) OQ→ と OR→ を a → , b→ , c→ および t を用いて表せ.
(2) 四面体 OBQR と四面体 OCPQ の体積が等しくなるときの t の値を求めよ.
(3) a→⋅ c→= b→⋅ c→ のとき, OR→ ⋅OC→ の値は t によらず一定になることを示せ.
2021-10461-0211
【4】 媒介変数 t (0≦ t< π4 ) を用いて
{ x=et ⁢cos⁡t y=et ⁢sin⁡t
で表される曲線を C とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) dx dt , dy dt を t を用いて表せ.
(2) dy dx を t を用いて表せ.
(3) t= π6 のときの曲線 C 上の点を P とする.このとき,点 P における曲線 C の接線 l の方程式を求めよ.
(4) (3)の点 P と直線 l において,曲線 C は点 P を除いて直線 l の上側にあることを示せ.
(5) 曲線 C と(3)で求めた直線 l , および x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.