2021　静岡大学　後期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$のとき，不等式

$1-x\leqq e^{-x}\leqq {\displaystyle \frac{1}{1+x}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　不等式

$\pi -2\leqq {\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}}{e}^{-{\tan }^{2}x}\mathit{dx}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

が成り立つことを示せ．

【２】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0)$をとり，点$\mathrm{B}$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．点$\mathrm{A}$と円$C$上の動点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分$\mathrm{AQ}$の垂直二等分線が線分$\mathrm{BQ}$と交わる点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{Q}$が円$C$上を$1$周するときの点$\mathrm{P}$のえがく曲線を$E$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$E$が$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を焦点とする楕円になることを示し，その方程式を求めよ．

(2)　曲線$E$上の点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{BP}=r\text{，}$$\mathrm{\angle PBA}=\alpha$とするとき，$r={\displaystyle \frac{1}{4-2\sqrt{3}\cos \alpha }}$となることを示せ．

(3)　点$\mathrm{B}$を通る直線と曲線$E$との交点を${\mathrm{D}}_1\text{，}$${\mathrm{D}}_2$とする．ただし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$${\mathrm{D}}_1\text{，}$${\mathrm{D}}_2$は同一直線上にはないとする．このとき，$\angle {\mathrm{D}}_1\mathrm{BA}=\theta$とおいて$\mathrm{▵A}{\mathrm{D}}_1{\mathrm{D}}_2$の面積を$\theta$を用いて表せ．

(4)　(3)における$\mathrm{▵A}{\mathrm{D}}_1{\mathrm{D}}_2$の面積の最大値を求めよ．

【３】　$r$を正の実数とし，複素数平面における原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円を$C$とする．$0$でない複索数$z$に対して，$\mathrm{O}$から点$\mathrm{P}(z)$に向かう半直線上の点$\mathrm{Q}(w)$が$\left|w\right|\cdot \left|z\right|=r^2$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$w$を$r$と$z$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が円$C$の内部にあるならば，点$\mathrm{Q}$は円$C$の外部にあることを示せ．

(3)　実軸上の点$\mathrm{R}\left({\displaystyle \frac{r}{2}}\right)$を通り，複素数平面の実軸に垂直な直線を$l$とする．点$\mathrm{P}$が直線$l$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$がえがく図形を求め，複素数平面上に図示せよ．

【１】　自然数$n$に対して，${\mathrm{A}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n$を数直線上の点とし，点${\mathrm{A}}_n$の座標を$a_n\text{，}$点${\mathrm{B}}_n$の座標を$b_n$で表す．ただし，$a_1=0\text{，}$$b_1=1$とし，点${\mathrm{A}}_{n+1}$を点${\mathrm{A}}_n$と点${\mathrm{B}}_n$の中点，点${\mathrm{B}}_{n+1}$を線分${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$を$4:1$に外分する点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_3$をそれぞれ求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表せ．

(3)　$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表せ．

(4)　$b_n-a_n$を$n$を用いて表せ．

(5)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　座標空間において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面上に$3$点$\mathrm{A}$$(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(\cos (-\theta ),\sin (-\theta ),0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(x,y,z)$をとる．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$z>0$であり，$\mathrm{\angle COA}=\mathrm{\angle COB}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle COA}=\alpha$とおく．このとき，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{\angle COA}=\mathrm{\angle AOB}$かつ$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$のとき，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$をそれぞれ求めよ．

【３】　複素数$\alpha$は${\alpha }^5=1\text{，}$$\alpha \ne 1$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　等式$1+\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3+{\alpha }^4=0$が成り立つことを示せ．

(2)　$(1-\alpha )(1-{\alpha }^2)(1-{\alpha }^3)(1-{\alpha }^4)$が実数であることを示し，その値を求めよ．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$を満たす実数$\theta$に対して，$z=\cos \theta +i\sin \theta$とおく．このとき，等式

$|1-z|=2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$

が成り立つことを示せ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

(4)　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$の値を求めよ．

【４】　$e$を自然対数の底とし，関数$f(x)=(2x-1)e^{-\frac{x}{2}}$を考える．$y=f(x)$のグラフを$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形を描け．必要ならば，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$を用いてよい．

(2)　$C$上の点$(a,f(a))$における接線の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　原点を通る$C$の接線をすべて求めよ．

(4)　(3)で求めた接線と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　$p\text{，}$$q$を異なる素数とするとき，次の各命題が真であることを証明せよ．

(1)　${}_{p}C_1\text{，}$${}_{p}C_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${}_{p}C_{p-1}$はいずれも$p$の倍数である．

(2)　すべての自然数$n$に対して$n^p-n$は$p$の倍数である．

(3)　すべての自然数$n$に対して$n^{(p-1)(q-1)+1}-n$は$pq$の倍数である．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の$7$文字を1列に並べるとき，次の問いに答えよ．

(1)　並べ方は何通りあるか求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$が$2$個連続して並ぶような並べ方は何通りあるか求めよ．

(3)　同じ文字が連続して並ばないような並べ方は何通りあるか求めよ．

【３】　$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{PB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{CQ}$の延長と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．

(2)　四面体$\mathrm{OBQR}$と四面体$\mathrm{OCPQ}$の体積が等しくなるときの$t$の値を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$t$によらず一定になることを示せ．

【４】　媒介変数$t$$(0\leqq t<{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$を用いて

$\{\begin{array}{l}x=e^t\cos t\\ y=e^t\sin t\end{array}$

で表される曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}$を$t$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$t$を用いて表せ．

(3)　$t={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のときの曲線$C$上の点を$\mathrm{P}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(4)　(3)の点$\mathrm{P}$と直線$l$において，曲線$C$は点$\mathrm{P}$を除いて直線$l$の上側にあることを示せ．

(5)　曲線$C$と(3)で求めた直線$l\text{，}$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．