2021 浜松医科大学 前期医学部

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2021 浜松医科大学 前期

医学科

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.なお,必要があれば等式

a3+b 3+c3- 3ab c =(a+ b+c) (a2+ b2+c 2-ab -bc-c a)

を利用してもよい.

(1) 実数 a b c に対して,不等式

a2+b 2+c2 -ab-b c-ca 0

を証明せよ.また,等号が成り立つときの a b c の条件を求めよ.

(2) 正の実数 x y z に対して, P Q R

P= x+y+z3 Q=xy z3 1R =13 (1 x+ 1y+ 1z)

とおく.このとき,不等式 PQ R を証明せよ.また,各等号が成り立つときの x y z の条件を求めよ.

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【2】 以下の問いに答えよ.

(1)  AB=4 AC=3 である三角形 ABC の辺 BC 2:1 に内分する点を D とする.また, AD=1 とする.

(a)  BC の長さを求めよ.

(b) (a)とは別の解法で BC の長さを求めよ.

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【2】 以下の問いに答えよ.

(2) 焦点が (0 ,0) 準線が y=- 2 の放物線と直線 y=2 の交点を P とする.

(a)  P の座標を求めよ.

(b) (a)とは別の解法で P の座標を求めよ.

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【3】 階段を一度に 1 段登る,または 1 段飛ばして登る登り方をするとき, n 段目までの登り方の総数を an とする.例えば, a1=1 a2=2 a3=3 である.以下の問いに答えよ.

(1)  n 3 以上の整数とする. n-1 段目を踏む n 段目までの登り方の総数を bn n-1 段目を踏まない n 段目までの登り方の総数を cn とする. bn cn a1 a2 an-1 を用いて表せ.

(2) 極限値 limn an+1 an が存在することを認めて,この極限値を求めよ.

(3)  n 2 以上の整数とするとき,等式

a2n =an2 +an-1 2

が成立することを示せ.

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【4】  n 3 以上の奇数, k 1k< n を満たす整数とする.また,関数 f( x)

f(x )=x n-k (x-1 )kn

とする.以下の問いに答えよ.

(1)  x のとき, f(x )-ax が収束するように定数 a の値を定め,そのときの極限値を求めよ.

(2)  f(x ) が原点で極値をもつための条件を求め,そのときの y=f (x ) のグラフの概形をかけ.

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